[论文解读] The Complexity Of The NP-Class

Carlos Barrón-Romero|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2010

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文提出，NP 类问题通常具有指数级复杂度，且对任意大规模实例缺乏优化性质，从而证明 NP 类在最坏情况下不具有多项式时间解法。本文引入一种多项式时间归约方法，表明二维欧几里得 TSP 问题可解，从而解决了该问题的著名猜想，证明 P ≠ NP，仅在平凡可约化情况下例外。

ABSTRACT

This paper presents a novel and straight formulation, and gives a complete insight towards the understanding of the complexity of the problems of the so called NP-Class. In particular, this paper focuses in the Searching of the Optimal Geometrical Structures and the Travelling Salesman Problems. The main results are the polynomial reduction procedure and the solution to the Noted Conjecture of the NP-Class.

研究动机与目标

• 通过分析 NP 问题的结构复杂度，解决 P 是否等于 NP 的长期悬而未决问题。
• 研究关键 NP 问题的固有复杂度，特别是 Lennard-Jones 势能问题和一般分配问题（GAP）。
• 确定是否存在多项式时间算法，可验证任意大规模 NP 问题的解。
• 通过分析问题特定的结构和性质，探索为 NP 问题设计高效算法的可行性。
• 通过多项式归约和搜索空间的结构分析，建立区分 P 与 NP 的理论基础。

提出的方法

• 分析 NP 问题的研究空间，即所有满足问题约束的有效且可能的输入。
• 应用多项式归约，将 TSP 转换为列数极少的结构化矩阵形式，从而实现高效搜索。
• 使用整数规划公式（IP）对 GAP_n 和 TSP_n 建模，以表示组合优化问题。
• 采用图灵机计算模型分析解的验证复杂度。
• 比较搜索空间的结构，识别出一般情况下无法实现多项式时间可解性的结构性特征。
• 引入有序矩阵 𝒫，以定义多项式时间可验证解与不可解解之间的分界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在多项式时间算法，可验证任意大规模 NP 问题的解？
• RQ2 二维欧几里得 TSP 是否可多项式时间求解？其何种结构性特征使其可解？
• RQ3 对于簇结构，Lennard-Jones 势能问题的真实复杂度是什么？
• RQ4 为何 NP 问题缺乏一种通用优化性质，从而无法实现多项式时间求解？
• RQ5 NP 问题中可解（如二维欧几里得 TSP）与不可解问题之间是否存在根本性的结构差异？

主要发现

• NP 类对任意大规模实例缺乏通用优化性质，导致其具有指数级复杂度。
• 二维欧几里得 TSP 具有多项式复杂度，与其先前被归类为不可解的结论相矛盾。
• 对于 n 个粒子的簇结构，Lennard-Jones 问题（LJP_n）具有指数级复杂度，即使在受限晶格上亦然。
• 此前对 n ≤ 1501 的候选最优簇结构，因未验证而存疑，现经在简化晶格上测试后，被认定为全局最优。
• 多项式与指数复杂度之间的分界由有序矩阵 𝒫 的位置决定，标志着可验证解的边界。
• 本文通过证明在一般情况下 P ≠ NP（仅在平凡可约化实例中例外），解决了 NP 类的著名猜想。