[论文解读] THE CONCEPTS OF DEPTH OF A PAIR OF IDEALS (I,J) ON MODULES AND (I,J)-COHEN-MACAULAY MODULES

Moharram Aghapournahr, M. Y. Sadeghi|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2013

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 14被引用 1

一句话总结

本文通过局部上同调模引入了模上一对理想 (I,J) 的深度概念，推广了经典的深度与科恩-麦克aul伊条件。建立了 (I,J)-局部上同调的消失定理，并定义了 (I,J)-科恩-麦克aul伊模，表明其与标准科恩-麦克aul伊模不同，且证明了此类模的阿廷性结果。

ABSTRACT

We introduce a generalization of the notion of depth of an ideal on a module by applying the concept of local cohomology modules with respect to a pair of ideals. Some vanishing theorems are given for this invariant. Vanishing of these kind of local cohomology modules are related to the vanishing of local cohomology modules with respect to an ideal. We show that local cohomology with respect to an arbitrary pair of ideals (I,J) are concerned with the local cohomology with respect to a pair of ideals whose the first ideal is generated by any k-regular sequence in I. We also introduce the concept of (I,J)-Cohen-Macaulay modules as a generalization of the concept of Cohen-Macaulay modules. These kind of modules are different from Cohen-Macaulay modules, as an example shows. Also an artinian result for such modules is given.

研究动机与目标

• 通过引入相对于一对理想 (I,J) 的深度，推广经典理想在模上的深度概念。
• 研究相对于一对理想 (I,J) 的局部上同调模的消失行为。
• 定义并研究 (I,J)-科恩-麦克aul伊模，作为科恩-麦克aul伊模的推广。
• 将任意一对理想 (I,J) 的局部上同调与 I 由 k-正则序列生成的对的局部上同调联系起来。
• 建立 (I,J)-科恩-麦克aul伊模的阿廷性性质。

提出的方法

• 以相对于一对理想 (I,J) 的局部上同调模为核心工具，定义深度并研究其性质。
• 应用 k-正则序列理论，将任意对 (I,J) 的研究简化为 I 由此类序列生成的情形。
• 通过 (I,J)-深度推广经典科恩-麦克aul伊条件，引入 (I,J)-科恩-麦克aul伊模的概念。
• 利用局部上同调模的消失定理，刻画某些上同调不变量消失的条件。
• 通过分析局部上同调在理想对运算下的行为，建立结构性结果。
• 将阿廷性作为关键结构性不变量，用于刻画 (I,J)-科恩-麦克aul伊模。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过一对理想 (I,J) 推广经典理想在模上的深度概念？
• RQ2 在何种条件下，相对于一对 (I,J) 的局部上同调模会消失？
• RQ3 相对于任意对 (I,J) 的局部上同调模与 I 由 k-正则序列生成的对的局部上同调模有何关系？
• RQ4 (I,J)-科恩-麦克aul伊模与标准科恩-麦克aul伊模在哪些方面不同？
• RQ5 (I,J)-科恩-麦克aul伊模满足哪些阿廷性性质？

主要发现

• 模相对于一对理想 (I,J) 的深度通过局部上同调模定义，推广了经典的深度概念。
• 建立了 (I,J)-局部上同调模的消失定理，将其消失性与理想对的性质联系起来。
• 任意对 (I,J) 的局部上同调可约化为 I 由 I 中的 k-正则序列生成的情形。
• 引入了 (I,J)-科恩-麦克aul伊模作为科恩-麦克aul伊模的恰当推广，且通过例子表明二者不等价。
• 证明了 (I,J)-科恩-麦克aul伊模的阿廷性结果，表明其关联素理想的集合满足有限性或降链条件。
• 研究揭示 (I,J)-局部上同调模与单个理想上的经典局部上同调有深刻联系。