[论文解读] The congruent numbers have positive natural density

Alexander Smith|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 9

一句话总结

本文证明了完全数——即作为有理边直角三角形面积的正整数——在无平方因子整数中具有正自然密度，表明至少55.9%的无平方因子整数 n ≡ 5,6,7 (模8) 是完全数。证明依赖于对完全数曲线的二次扭曲验证弱化形式的Birch和Swinnerton-Dyer猜想，方法包括2- Selmer群计算与解析秩分析。

ABSTRACT

We prove that the rational elliptic curve y^2 = x^3 - n^2x satisfies the full Birch and Swinnerton-Dyer conjecture for at least 41.9% of positive squarefree integers n equal to 1, 2, or 3 mod 8, and that it satisfies the regular BSD conjecture for at least 55.9% of positive squarefree integers n equal to 5, 6, or 7 mod 8. In particular, at least 55.9% of positive squarefree integers equal to 5, 6, or 7 mod 8 are congruent numbers. These proofs complete an argument started by Tian, Yuan, and Zhang.

研究动机与目标

• 建立完全数在正无平方因子整数中具有正自然密度。
• 验证完全数曲线的二次扭曲 E: y² = x³ - n²x 的弱化形式的Birch和Swinnerton-Dyer猜想。
• 确定满足 E^(n) 的2-Selmer秩为3（即解析秩为1）的无平方因子整数 n ≡ 5,6,7 (模8) 的自然密度。
• 通过证明关于 L(E) 奇偶性的猜想1.1，完成Tian、Yuan和Zhang启动的程序，该猜想与2-Selmer群结构相关。

提出的方法

• 使用Monsky的方法，通过由 n mod 8 和素因子的勒让德符号决定的 F₂-矩阵，计算 E^(n) 的2-Selmer秩。
• 应用Tian、Yuan和Zhang的工作，利用相同的算术数据确定 L(1,E^(n)) 的奇偶性。
• 利用Rubin对虚二次域的Iwasawa主猜想的证明，表明当解析秩为零时，L(E^(n))/|Sha(E^(n))| 是一个2-进单位。
• 应用Waldspurger公式将 L(1,E^(n)) 与模形式联系起来，并推导出 L-值表达式的非负性。
• 使用Swinnerton-Dyer和Kane的概率启发式方法，论证Monsky矩阵的非零行列式条件意味着解析秩为1的概率为0.5。
• 应用密度论证与素因子分解上的平均技术，计算具有指定2-Selmer秩和 L-值奇偶性的 n 的自然密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无平方因子正整数 n ≡ 5,6,7 (模8) 中，有多少比例是完全数，即椭圆曲线 y² = x³ - n²x 在 Q 上具有正秩？
• RQ2 弱化形式的Birch和Swinnerton-Dyer猜想是否对完全数曲线的所有二次扭曲都成立，特别是当2-Selmer群由2-挠点生成时？
• RQ3 对于 t ∈ {5,6,7}，满足 n ≡ t (模8) 的无平方因子整数 n 的自然密度是多少，使得 E^(n) 的2-Selmer秩恰好为3？
• RQ4 能否利用 F₂ 上某些行列式表达式（如 L₅a(n), L₅b(n)）的非零性来以正密度预测解析秩为1？

主要发现

• 至少41.9%的正无平方因子整数 n ≡ 1,2,3 (模8) 对应完全数。
• 至少55.9%的正无平方因子整数 n ≡ 5,6,7 (模8) 是完全数。
• 对于 n ≡ 5,6,7 (模8)，2-Selmer秩为3的 n 的自然密度大于 0.8388。
• 在 n ≡ 5 (模8) 且2-Selmer秩为3的整数中，至少75% 满足解析秩为1的非零条件。
• 在 n ≡ 7 (模8) 且2-Selmer秩为3的整数中，至少75% 满足解析秩为1的非零条件。
• 当2-Selmer群由2-挠点生成时（该情况以正密度出现），E^(n) 的完整Birch和Swinnerton-Dyer猜想成立。