[论文解读] The determinant of the Malliavin matrix and the determinant of the covariance matrix for multiple integrals

Ciprian A. Tudor|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文建立了同一维纳混沌中多个随机积分对的马利万矩阵行列式与协方差矩阵行列式之间的显式解析关系。证明了对于阶数不超过4的混沌，此类两个随机变量要么具有联合概率密度，要么彼此成比例——从而解决了关于向量值多重积分存在密度这一关键开放问题。

ABSTRACT

A well-known problem in Malliavin calculus concerns the relation between the determinant of the Malliavin matrix of a random vector and the determinant of its covariance matrix. We give an explicit relation between these two determinants for couples of random vectors of multiple integrals. In particular, if the multiple integrals are of the same order and this order is at most 4, we prove that two random variables in the same Wiener chaos either admit a joint density, either are proportional and that the result is not true for random variables in Wiener chaoses of different orders.

研究动机与目标

• 解决多重随机积分的马利万矩阵行列式与协方差矩阵行列式之间关系的开放问题。
• 确定同一维纳混沌中多重积分向量存在联合概率密度的必要与充分条件。
• 建立对于阶数≤4的混沌，两个多重积分要么具有联合密度，要么彼此成比例，从而将已知的二阶结果推广至更高阶。
• 推导马利万矩阵行列式在收缩运算与协方差结构下的显式公式。

提出的方法

• 将马利万矩阵表示为源自多重伊藤-维纳积分的随机变量平方和的形式。
• 利用多重随机积分的乘积公式展开马利万矩阵的行列式。
• 在多重积分的核函数f与g之间应用不同阶数的收缩运算（·⊗ᵣ·），以计算主导项。
• 推导出涉及detC与迭代收缩范数的detΛ显式公式，特别针对阶数n≤4的情形。
• 利用埃尔米特多项式与维纳混沌分解的对称性与等距性性质。
• 通过分析收缩项的消失及其与协方差行列式的关系，研究马利万行列式的消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个通用常数c>0，使得E[detΛ] ≥ c·detC对多重随机积分成立？
• RQ2 同一维纳混沌中多重积分向量的分布是否要么绝对连续，要么其分量彼此成比例？
• RQ3 对于不同阶数的多重积分，E[detΛ]=0是否蕴含detC=0？
• RQ4 能否通过马利万行列式中特定收缩项的消失来刻画多重积分向量的联合密度？
• RQ5 对于阶数≤4的积分，detΛ在收缩与协方差矩阵方面的精确代数结构为何？

主要发现

• 对于阶数n≤4的相同阶多重积分，联合密度存在的充要条件是协方差矩阵行列式非零。
• 若马利万行列式为零，则协方差行列式也必须为零，这意味着分量彼此成比例。
• 对于阶数3，detΛ = 9detC + 9×36×3[‖f⊗₁g‖² − ⟨f⊗₁g, g⊗₁f⟩] − 9×36×2[‖f⊗₂g‖² − ⟨f⊗₂g, g⊗₂f⟩] + R₃′，且当detΛ=0时有detC=0。
• 对于阶数4，detΛ = 16detC + 16×(4!)²[(C₃¹)²−1][‖f⊗₁g‖² − ⟨f⊗₁g, g⊗₁f⟩] − 16×(4!)²[(C₃¹)²−2][‖f⊗₃g‖² − ⟨f⊗₃g, g⊗₃f⟩] + R₄′，且当detΛ=0时有detC=0。
• 对于阶数n≥5，最高阶收缩项（如‖f⊗₄g‖² − ⟨f⊗₄g, g⊗₄f⟩）的消失是必要但非充分条件，以得出detC=0，原因在于复杂的嵌套收缩结构。