[论文解读] The Dirichlet problem for minimal surfaces equation and Plateau problem at infinity

Laurent Mazet|ArXiv.org|Mar 17, 2003

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文通过基于解中线状发散结构的创新方法，建立了在无界区域上具有无限边界数据的Dirichlet问题的新存在性与唯一性结果。它通过在多边形多区域上构造极小曲面方程的解，并证明其共轭曲面可生成具有预设通量向量的极小曲面，从而提供了对水平端极小曲面问题在无穷远处的构造性证明。

ABSTRACT

In this paper, we shall study the Dirichlet problem for the minimal surfaces equation. We prove some results about the boundary behaviour of a solution of this problem. We describe the behaviour of a non-converging sequence of solutions in term of lines of divergence in the domain. Using this second result, we build some solutions of the Dirichlet problem on unbounded domain. We then give a new proof of the result of C. Cos\'ın and A. Ros concerning the Plateau problem at infinity for horizontal ends.

研究动机与目标

• 解决无界区域上具有无限边界值的极小曲面方程Dirichlet问题的开放性问题。
• 为Cosín与Ros关于水平端在无穷远处的Plateau问题结果提供构造性证明。
• 表征极小曲面方程解的边界行为，特别是发散线的形成。
• 定义并利用多区域，将存在性结果推广至非凸通量多边形之外。
• 确立具有无限边界数据的解的共轭曲面在无穷远处产生具有预设通量向量的极小曲面。

提出的方法

• 引入多区域概念，以推广非凸通量多边形的区域结构。
• 采用极限过程：在有界区域上构造解，并取极限以获得在无界区域上的解。
• 分析解序列的发散行为，证明发散沿通过发散点的整条直线发生。
• 将Jenkins-Serrin框架应用于单调解序列，并将其扩展至无界情形。
• 在由多边形底面与附加半条带构成的区域 $ \Omega $ 上构造解 $ u $，使得 $ u \to +\infty $ 在 $ L_i^+ $ 上，且 $ u \to -\infty $ 在 $ L_i^- $ 上。
• 利用共轭曲面构造，将Dirichlet问题的解与无穷远处的Plateau问题的解联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，极小曲面方程在具有无限边界数据的无界区域上的Dirichlet问题存在解？
• RQ2 当解序列在某点发散时，极小曲面方程解的边界行为如何演化？
• RQ3 能否通过Dirichlet问题框架构造性地解决水平端在无穷远处的Plateau问题？
• RQ4 当Dirichlet问题的解在交替的半条带上具有无限边界值时，其共轭曲面中会涌现出何种几何结构？
• RQ5 多区域在将存在性结果推广至非凸通量多边形中起到何种作用？

主要发现

• 在无界多区域 $ \Omega $ 上存在极小曲面方程的解 $ u $，满足 $ u \to +\infty $ 在 $ L_i^+ $ 上，且 $ u \to -\infty $ 在 $ L_i^- $ 上，且该解在相差一个常数的意义下唯一。
• 若解序列在某点发散，则其必须沿通过该点的整条直线发散，这推广了Jenkins-Serrin方法。
• 解 $ u $ 的图像具有有限总曲率，这通过在半条带和紧致部分上的曲率估计得以证明。
• 解 $ u $ 的共轭曲面是具有有限总曲率的完备极小曲面，且其端点为嵌入的，其通量向量与给定的多边形数据一致。
• 在区域 $ \Omega $ 的顶点处，即使区域非凸，解 $ u $ 的图像边界也包含一条竖直线段。
• 证明依赖于Carathéodory定理和Schönflies性质，以将解的参数化延拓至边界点，从而保证正则性与有限曲率。