[论文解读] The distributions of traffics and their free product

Camille Male|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2011

Random Matrices and Applications参考文献 18被引用 20

一句话总结

本文引入了非交换概率中一种新的自由积概念，用于建模复随机变量的独立性，并捕捉共轭不变随机矩阵的极限。该理论推广了渐近自由性的结果，将流量收敛与图极限（Benjamini-Schramm 与图子）联系起来，并建立了一个新的中心极限定理，该定理在 Voiculescu 与 de Moivre-Laplace 定理之间实现插值。

ABSTRACT

Traffics are defined as elements of Voiculescu's non commutative spaces (called non commutative random variables), for which we specify more structure. We define a new notion of free product in that context. It is weaker than Voiculescu's free product and encodes the independence of complex random variables. This free product models the limits of independent random matrices invariant by conjugation by permutation matrices. We generalize known theorems of asymptotic freeness (for Wigner, unitary Haar, uniform permutation and deterministic matrices) and present examples of random matrices that converges in non commutative law and are not asymptotically free in the sense of Voiculescu. Our approach provides some additional applications. Firstly, the convergence in distribution of traffics is related to two notions of convergence of graphs, namely the weak local convergence of Benjamini and Schramm and the convergence of graphons of Lovasz. These connections give descriptions of the limiting eigenvalue distributions of large graphs with uniformly bounded degree and random matrices with variance profile. Moreover, we prove a new central limit theorems for the normalized sum of non commutative random variables. It interpolates Voiculescu's and de Moivre-Laplace central limit theorems.

研究动机与目标

• 在 Voiculescu 的非交换空间中定义一种新的、较弱形式的自由积，以编码复随机变量的独立性。
• 推广 Wigner、Haar 单元、置换和确定性矩阵的渐近自由定理。
• 识别出在非交换律下收敛但并非在 Voiculescu 意义下渐近自由的随机矩阵系综。
• 建立流量收敛与两种图收敛概念（弱局部收敛与图子收敛）之间的联系。
• 通过新自由积结构，证明一个新中心极限定理，该定理在非交换中心极限定理（Voiculescu）与经典中心极限定理（de Moivre-Laplace）之间实现插值。

提出的方法

• 引入流量作为具有额外代数与概率约束的结构化非交换随机变量。
• 定义一种弱于 Voiculescu 的新自由积运算，但能捕捉复随机矩阵模型中的独立性。
• 利用该框架分析在置换矩阵共轭下不变的随机矩阵的极限。
• 建立流量收敛与 Benjamini-Schramm 与图子意义下图序列收敛之间的等价性。
• 通过在非交换中心极限定理（Voiculescu）与经典中心极限定理（de Moivre-Laplace）之间插值，推导出一个新的中心极限定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非交换概率中定义一种新的自由积运算，使其比 Voiculescu 的版本更自然地建模复随机变量的独立性？
• RQ2 共轭不变随机矩阵在何种意义下收敛于律，这与图极限有何关联？
• RQ3 能否构造一个统一 Voiculescu 的非交换中心极限定理与经典 de Moivre-Laplace 中心极限定理的中心极限定理？
• RQ4 流量收敛与两种图收敛概念（Benjamini-Schramm 与图子）之间的确切关系是什么？
• RQ5 是否存在在非交换律下收敛但并非在 Voiculescu 意义下渐近自由的随机矩阵系综？

主要发现

• 新自由积结构能够建模在置换矩阵共轭下不变的独立随机矩阵的极限。
• 证明了流量收敛等价于图的弱局部收敛（Benjamini-Schramm）与图子收敛（Lovász）两种意义下的收敛。
• 本文构造了一个新中心极限定理，该定理在 Voiculescu 与 de Moivre-Laplace 的中心极限定理之间实现插值。
• 提供了在非交换律下收敛但并非在 Voiculescu 意义下渐近自由的随机矩阵示例。
• 该框架推广了已知的 Wigner、Haar 单元、均匀置换与确定性矩阵的渐近自由结果。