[论文解读] The divisibility by 2 of rational points on elliptic curves

Boris M. Bekker, Yuri G. Zarhin|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文提供了关于具有有理2挠点的椭圆曲线上有理点2整除性的新初等证明，使用了半点的显式公式。它在任意特征≠2的域上构造了具有指定2幂次和挠子群的椭圆曲线的普遍族，并将这些结果应用于显式分类特定小有限域和数域上的椭圆曲线，例如$ olimits\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，结合Hasse界和模曲线关系。

ABSTRACT

We give a simple proof of the well-known divisibility by 2 condition for rational points on elliptic curves with rational 2-torsion. As an application of the explicit division by $2^n$ formulas obtained in Sec.2, we construct versal families of elliptic curves containing points of orders 4, 5, 6, and 8 from which we obtain an explicit description of elliptic curves over certain finite fields $\mathbb{F}_q$ with a prescribed (small) group $E(\mathbb{F}_q)$. In the last two sections we study 3- and 5-torsion. This paper supercedes arXiv:1605.09279 [math.NT] .

研究动机与目标

• 提供关于具有有理2挠点的椭圆曲线上有理点2整除性的经典准则的更简单、计算量更小的证明。
• 推导$E(K)$中被$2^n$整除的点的显式公式，从而实现具有指定挠子群的椭圆曲线普遍族的构造。
• 分类在小有限域$ olimits\mathbb{F}_q$上，其有理点群$E(\mathbb{F}_q)$同构于特定阿贝尔群（如$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$或$\mathbb{Z}/20\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$）的椭圆曲线。
• 将分类结果扩展至二次域上，其挠子群同构于$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，并使用显式参数化。

提出的方法

• 使用初等代数几何和切线线的显式计算，基于$x_0 - \alpha_i$在$K$中为平方数的条件，推导出满足$2Q = P$的点$Q$的公式。
• 推导出椭圆曲线$\mathcal{E}_{5,\xi,\eta}$的显式参数化，其包含同构于$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的子群，参数化由$K$-点在有理曲线或亏格1曲线上给出。
• 应用Hasse界以限制$E(\mathbb{F}_q)$可能的阶，从而实现对$\mathbb{F}_q$上满足$E(\mathbb{F}_q) \cong \mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$或$\mathbb{Z}/20\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的曲线的精确分类，其中$q = 31, 37, 41, 43, 59, 61$。
• 结合2-下降理论和显式半点公式，构造了$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$、$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$和$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$挠子群的普遍族。
• 依赖Mazur、Kamienny以及Kenku–Momose的经典结果，对$\mathbb{Q}$和二次域上的可能挠子群进行分类。
• 建立在二次域$K$上存在同构于$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的挠子群的等价条件，即曲线同构于某个$\mathcal{E}_{5,\xi,\eta}$族。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征≠2的域$K$上的椭圆曲线$E$上，有理点$P = (x_0, y_0)$在$E(K)$中何时可被2整除？
• RQ2 如何显式构造在任意特征≠2的域上具有阶为4、5、6或8的点的椭圆曲线族？
• RQ3 对于哪些有限域$\mathbb{F}_q$，椭圆曲线$E$的有理点群$E(\mathbb{F}_q)$具有特定同构类型，如$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$？
• RQ4 在二次域$K$上，椭圆曲线的挠子群同构于$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$的精确条件是什么？
• RQ5 如何将Hasse界与显式挠子群构造结合，以对具有指定点群结构的小有限域上的椭圆曲线进行分类？

主要发现

• 在特征≠2的域$K$上的椭圆曲线$E: y^2 = (x - \alpha_1)(x - \alpha_2)(x - \alpha_3)$上，有理点$P = (x_0, y_0)$在$E(K)$中可被2整除，当且仅当所有三个元素$x_0 - \alpha_i$在$K$中都是平方数，该准则通过切线线的初等几何方法证明。
• 通过切线线方法直接推导出所有四个满足$2Q = P$的点$Q$的坐标显式公式，避免了复杂的计算。
• 当$q = 31, 37, 41, 43$时，$E(\mathbb{F}_q) \cong \mathbb{Z}/20\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$当且仅当$E$同构于某个$\mathcal{E}_{5,\xi,\eta}$曲线，该结论通过Hasse界和子群包含性得到验证。
• 当$q = 59$或$61$时，$E(\mathbb{F}_q) \cong \mathbb{Z}/30\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$当且仅当$E$同构于某个$\mathcal{E}_{5,\xi,\eta}$曲线，且群阶被Hasse界约束为60。
• 在二次域$K$上，挠子群$E(K)_t$同构于$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$当且仅当$E$同构于某个$\mathcal{E}_{5,\xi,\eta}$曲线，其中$\xi, \eta$满足特定方程和不等式。
• 对$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$和$\mathbb{Z}/10\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$挠子群的普遍族构造，由亏格1曲线上$K$-点参数化，将结果与亏格1的模曲线联系起来。