[论文解读] The Donaldson hyperk\"ahler metric on the almost-Fuchsian moduli space

Samuel Trautwein|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文為闭曲面（亏格至少为2）的几乎Fuchsian模空间上Donaldson构造的双Kähler度量提供了完整的证明。通过利用Uhlenbeck对双曲3-流形的研究、Hodge将模空间显式映射到Teichmüller空间与其对偶空间乘积的映射、Bers的同步统一化定理，以及Hitchin的Higgs丛理论，作者们证明了该双Kähler结构可通过Feix–Kaledin构造从Teichmüller空间余切丛上的Weil–Petersson度量延拓而来，并将极小曲面的面积识别为该双Kähler度量的Kähler势函数。

ABSTRACT

Donaldon constructed a hyperkahler moduli space $\mathcal{M}$ associated to a closed oriented surface $\Sigma$ with $ extrm{genus}(\Sigma) \geq 2$. This embeds naturally into the cotangent bundle $T^*\mathcal{T}(\Sigma)$ of Teichmuller space or can be identified with the almost-Fuchsian moduli space associated to $\Sigma$. The later is the moduli space of quasi-Fuchsian threefolds which contain a unique incompressible minimal surface with principal curvatures in $(-1,1)$. Donaldson outlined various remarkable properties of this moduli space for which we provide complete proofs in this paper: On the cotangent-bundle of Teichmuller space, the hyperkahler structure on $\mathcal{M}$ can be viewed as the Feix--Kaledin hyperkahler extension of the Weil--Petersson metric. The almost-Fuchsian moduli space embeds into the $ extrm{SL}(2,\mathbb{C})$-representation variety of $\Sigma$ and the hyperkahler structure on $\mathcal{M}$ extends the Goldman holomorphic symplectic structure. Here the natural complex structure corresponds to the second complex structure in the first picture. Moreover, the area of the minimal surface in an almost-Fuchsian manifold provides a Kahler potential for the hyperkahler metric. The various identifications are obtained using the work of Uhlenbeck on germs of hyperbolic $3$-manifolds, an explicit map from $\mathcal{M}$ to $\mathcal{T}(\Sigma) imes \overline{\mathcal{T}(\Sigma)}$ found by Hodge, the simultaneous uniformization theorem of Bers, and the theory of Higgs bundles introduced by Hitchin.

研究动机与目标

• 为Donaldson在几乎Fuchsian轨线上的双Kähler模空间所概述的性质提供完整的证明。
• 建立几乎Fuchsian模空间上的双Kähler结构，作为Teichmüller空间余切丛上Weil–Petersson度量的Feix–Kaledin延拓。
• 证明双Kähler度量可延拓至SL(2,ℂ)-表示丛上的Goldman全纯对称辛结构。
• 将几乎Fuchsian流形中极小曲面的面积识别为双Kähler度量的Kähler势函数。
• 通过Uhlenbeck的胚、Hodge的映射、Bers的统一化以及Hitchin的Higgs丛理论，统一几何、复分析与规范场论的视角。

提出的方法

• 利用Uhlenbeck关于双曲3-流形胚的理论，分析极小曲面附近的局部结构。
• 通过Hodge的参数化，构造从几乎Fuchsian模空间到Teichmüller空间与其对偶空间乘积的显式映射。
• 应用Bers的同步统一化定理，将拟Fuchsian表示实现为Teichmüller × 对偶Teichmüller空间中的点。
• 采用Feix–Kaledin构造，将Weil–Petersson Kähler形式延拓至余切丛上的双Kähler结构。
• 利用Hitchin的Higgs丛对应关系，将双Kähler度量与SL(2,ℂ)-表示丛上的全纯对称辛结构联系起来。
• 验证在主曲率属于(−1,1)的不可压缩极小曲面的面积，正是双Kähler度量的Kähler势函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 几乎Fuchsian模空间上的双Kähler结构与Teichmüller空间上的Weil–Petersson度量之间有何关系？
• RQ2 几乎Fuchsian空间上的双Kähler度量能否被实现为Weil–Petersson Kähler形式的Feix–Kaledin延拓？
• RQ3 模空间上的双Kähler结构是否延拓了SL(2,ℂ)-表示丛上的Goldman全息对称辛结构？
• RQ4 在几乎Fuchsian流形中，极小曲面的面积在双Kähler度量中起何种几何作用？
• RQ5 Uhlenbeck的胚、Hodge的映射、Bers的统一化与Hitchin的Higgs丛如何共同实现该双Kähler结构？

主要发现

• 几乎Fuchsian模空间上的双Kähler结构，是Teichmüller空间余切丛上Weil–Petersson度量的Feix–Kaledin延拓。
• 几乎Fuchsian模空间自然嵌入SL(2,ℂ)-表示丛中，且双Kähler度量延拓了Goldman的全纯对称辛结构。
• 模空间上的自然复结构对应于双Kähler三元组中的第二个复结构，与Feix–Kaledin构造一致。
• 每个几乎Fuchsian流形中唯一的不可压缩极小曲面的面积，是双Kähler度量的Kähler势函数。
• 各种几何与分析结构——Uhlenbeck的胚、Hodge的参数化、Bers的统一化与Hitchin的Higgs丛——被统一起来，实现了双Kähler度量。