[论文解读] The double obstacle problem on non divergence form

Luis F. Duque|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文在两个障碍物足够光滑且均匀分离的假设下，建立了完全非线性非散度型椭圆与抛物型算子双障碍问题解的内部 $C^{1,\beta}$ 正则性。关键技术在于分析解在与障碍物接触点附近的增长行为，结合粘性解理论与紧致性论证，推导出梯度的 Hölder 估计。

ABSTRACT

We study the regularity of the solution of the double obstacle problem form for fully non linear parabolic and elliptic operators. We show that when the obstacles are sufficiently regular the solution is $C^{1,α}$ in the interior for both the parabolic and the elliptic cases.

研究动机与目标

• 将 Kinderlehrer 对单障碍问题的结果推广至完全非线性椭圆与抛物型算子在非散度形式下的双障碍情形。
• 在障碍物光滑且均匀分离的条件下，建立解的内部 $C^{1,\beta}$ 正则性。
• 分析解在与障碍物接触点附近的行为，特别是解远离障碍物时的增长率。
• 通过惩罚方法，为椭圆双障碍问题提供严格的存在性与正则性结果。
• 通过将已知正则性结果推广至双障碍情形，弥合非散度型算子在文献中的研究空白。

提出的方法

• 使用粘性解理论来定义并分析非散度形式下双障碍问题的解。
• 应用 $L^\theta_w$ 弱型估计（引理 4.1）以控制解在接触点附近超解的增长。
• 通过 $\beta_\rho$-函数对双障碍约束进行 $C^2$-光滑逼近，构造惩罚问题。
• 利用完全非线性算子的缩放性质，保持强椭圆性并导出一致估计。
• 通过紧致性与 Sobolev 嵌入，对惩罚序列取极限，得到 $C^{1,\beta}$ 极限解。
• 通过接触集 $E_1 = \{u = \phi_1\}$，$E_2 = \{u = \phi_2\}$ 及其补集 $A = \{\phi_1 < u < \phi_2\}$ 分析自由边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，完全非线性非散度型算子双障碍问题的解属于 $C^{1,\beta}$？
• RQ2 解在与两个障碍物之一接触的点附近如何增长？
• RQ3 在非散度型设定下，对于光滑障碍物，能否建立解的存在性与正则性？
• RQ4 自由边界在解的正则性中起什么作用？
• RQ5 完全非线性算子的缩放与紧致性性质如何促进正则性证明？

主要发现

• 当障碍物 $\phi_1$ 与 $\phi_2$ 光滑且均匀分离时，双障碍问题的解 $u$ 在 $Q_1$ 的内部属于 $C^{1,\beta}$。
• 关键步骤是推导出一个增长估计（椭圆情形为引理 4.4，抛物情形为引理 5.6），描述解在接触点处远离障碍物时的增长方式。
• 惩罚方法成功构造了一组逼近问题的解序列，该序列一致收敛于原问题的解。
• 极限解在粘性意义下满足双障碍问题，其中在非接触区域 $\{\phi_1 < u < \phi_2\}$ 有 $F(D^2u) = 0$，在各自接触区域有 $F(D^2u) \leq 0$ 或 $\geq 0$。
• $W^{2,p}$ 估计与 Sobolev 嵌入保证了极限解属于 $C^{1,\beta}(B_1)$，对任意 $0 < \beta < 1$。
• 证明依赖于通过 $F$ 的强椭圆性与缩放性质获得的惩罚解的一致有界性，从而确保收敛至 $C^{1,\beta}$ 解。