[论文解读] The double shuffle relations for multiple Eisenstein series

Henrik Bachmann, Koji Tasaka|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用 8

一句话总结

本文通过将多重爱森斯坦级数的傅里叶展开与迭代积分的霍普夫代数上的冈恰罗夫对偶积联系起来，建立了多重爱森斯坦级数的受限有限双重 shuffle 关系。关键结果是一个精确公式，表明多重爱森斯坦级数的 shuffle 乘积通过生成级数映射对应于对偶积作用，从而首次在该背景下实现了非平凡的双重 shuffle 关系。

ABSTRACT

We study the multiple Eisenstein series introduced by Gangl, Kaneko and Zagier. We give a proof of (restricted) finite double shuffle relations for multiple Eisenstein series by developing an explicit connection between the Fourier expansion of multiple Eisenstein series and the Goncharov coproduct on Hopf algebras of iterated integrals.

研究动机与目标

• 建立多重爱森斯坦级数的有限双重 shuffle 关系，该关系推广了多重 zeta 值的经典双重 shuffle 关系。
• 通过引入正则化框架，解决由于发散项（如 $ G_{1,5} $）导致的 shuffle 乘积公式失效的问题。
• 将多重爱森斯坦级数的傅里叶展开与迭代积分的霍普夫代数上的冈恰罗夫对偶积联系起来，揭示该级数背后的代数结构。
• 证明多重爱森斯坦级数的 shuffle 乘积可通过对偶积作用实现，从而将双重 shuffle 框架扩展至模形式。

提出的方法

• 本文构造了一个商霍普夫代数 $ \mathcal{I}_{\bullet}^1 = \mathcal{I}_{\bullet}/\mathbb{I}(0;0;1)\mathcal{I}_{\bullet} $，其具有线性基 $ \{I(n_1,\ldots,n_r)\} $，并在该空间上定义了冈恰罗夫对偶积 $ \Delta $。
• 引入两个 $ \mathbb{Q} $-线性映射：$ \mathfrak{z}^{\cyr{sh}} $ 将 $ I(n_1,\ldots,n_r) $ 映射到 shuffle 乘积下的正则化多重 zeta 值，$ \mathfrak{g} $ 将其映射到傅里叶展开中多重除数和的生成级数。
• 推导出主要恒等式 $ (\mathfrak{z}^{\cyr{sh}} \otimes \mathfrak{g}) \circ \Delta(I(n_1,\ldots,n_r)) = G_{n_1,\ldots,n_r}(\tau) $，通过傅里叶展开将对偶积与爱森斯坦级数联系起来。
• 证明依赖于将 $ I(n_1,\ldots,n_r) $ 的对偶积展开与 $ G_{n_1,\ldots,n_r}(\tau) $ 的傅里叶展开进行比较，特别是在 $ r=2 $ 的情况下，使用显式公式如 $ \Delta(I(2,3)) = I(2,3)\otimes 1 + 3I(3)\otimes I(2) + 2I(2)\otimes I(3) + 1\otimes I(2,3) $。
• 该框架被扩展以定义 $ G^{(L,M)}_w(\tau) $ 作为多重爱森斯坦级数的正则化版本，确保收敛性，并促成调和乘积公式的推导。
• 通过证明生成级数的 shuffle 乘积在极限过程中与调和乘积匹配，从而证明了受限有限双重 shuffle 关系，得到 $ \sum_w c_w(w_1 \cyr{sh} w_2) G_w^{\cyr{sh}}(q) = \sum_w c_w(w_1 \ast w_2) G_w^{\cyr{sh}}(q) $。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管存在 $ G_{1,5} $ 等发散项，如何定义多重爱森斯坦级数的 shuffle 乘积结构？
• RQ2 多重爱森斯坦级数的傅里叶展开背后的代数结构是什么？它与多重 zeta 值理论中的已知对象有何关联？
• RQ3 迭代积分上的冈恰罗夫对偶积能否用于为多重爱森斯坦级数定义一致的 shuffle 乘积？
• RQ4 多重 zeta 值的双重 shuffle 关系在多重爱森斯坦级数的模形式背景下在多大程度上可以推广？
• RQ5 生成级数 $ G_w^{\cyr{sh}}(q) $ 之间是否存在 $ \mathbb{Q} $-线性关系？在每个权下有多少个独立关系？

主要发现

• 本文证明了 $ (\mathfrak{z}^{\cyr{sh}} \otimes \mathfrak{g}) \circ \Delta(I(n_1,\ldots,n_r)) = G_{n_1,\ldots,n_r}(\tau) $，建立了冈恰罗夫对偶积与多重爱森斯坦级数傅里叶展开之间的精确代数联系。
• 受限有限双重 shuffle 关系成立：$ \sum_w c_w(w_1 \cyr{sh} w_2) G_w^{\cyr{sh}}(q) = \sum_w c_w(w_1 \ast w_2) G_w^{\cyr{sh}}(q) $，首次在模形式背景下实现了此类关系的非平凡实现。
• 在权 $ N=4 $ 时，发现一个线性关系：$ G^{\cyr{sh}}_4(q) - 4G^{\cyr{sh}}_{1,3}(q) = 0 $，源于 $ y_2 \ast y_2 - y_2 \cyr{sh} y_2 $，证明了该方法的有效性。
• 由权 $ N $ 的归一化 $ \widetilde{G}^{\cyr{sh}} $ 张成的 $ \mathbb{Q} $-向量空间 $ \mathcal{E}_N $ 的维数猜想为 $ 1,2,3,6,10,18 $，直至 $ N=7 $，且独立关系的数量随权增加而增长。
• 从双重 shuffle 关系中得到的独立 $ \mathbb{Q} $-线性关系数量为：$ N=4 $ 时 1 个，$ N=5 $ 时 1 个，$ N=6 $ 时 3 个，$ N=7 $ 时 5 个，$ N=8 $ 时 11 个，表明这些关系在 $ N \geq 5 $ 时无法捕捉所有可能的依赖关系。
• 归一化生成级数的 $ \mathbb{Q} $-代数 $ \mathcal{E} $ 包含 $ \mathrm{SL}_2(\mathbb{Z}) $ 的拟模形式环，暗示其在导数 $ qd/dq $ 下可能具有稳定性，从而可能导出关于多重 zeta 值的新 $ \mathbb{Q} $-线性关系。