[论文解读] The Edge-Szeged Index and the PI Index of Benzenoid Systems in Linear Time

Niko Tratnik|arXiv (Cornell University)|Jun 23, 2016

Graph theory and applications参考文献 22被引用 17

一句话总结

本文通过将问题转化为基于切割法导出的三个商树上的加权索引计算，提出了计算苯环系边-Szeged指数和PI指数的线性时间算法。关键贡献在于对两种索引均实现了O(m)时间复杂度的计算，且该方法可扩展至使用边加权商树的加权苯环系。

ABSTRACT

The edge-Szeged index of a graph $G$ is defined as $Sz_e(G) = \sum_{e=uv \in E(G)}m_u(e)m_v(e)$, where $m_u(e)$ denotes the number of edges of $G$ whose distance to $u$ is smaller than the distance to $v$ and $m_v(e)$ denotes the number of edges of $G$ whose distance to $v$ is smaller than the distance to $u$. Similarly, the PI index is defined as $PI(G) = \sum_{e=uv \in E(G)}(m_u(e) + m_v(e))$. In this paper it is shown how the problem of calculating the indices of a benzenoid system can be reduced to the problem of calculating weighted indices of three different weighted quotient trees. Furthermore, using these results, algorithms are established that, for a given benzenoid system $G$ with $m$ edges, compute the edge-Szeged index and the PI index of $G$ in $O(m)$ time. Moreover, it is shown that the results can also be applied to weighted benzenoid systems.

研究动机与目标

• 开发用于计算苯环系中拓扑指数的高效算法，此类指数在化学图论中具有重要意义。
• 解决大规模苯环系中边-Szeged指数与PI指数计算的计算挑战。
• 建立一种将问题简化为三个商树上加权索引计算的方法，从而实现线性时间计算。
• 将该方法推广至边加权苯环系，以拓展其在化学与药物研发中的应用范围。

提出的方法

• 应用切割法，根据边的方向（三个正交方向）将苯环系分解为三个商树。
• 定义加权商树，其中顶点权重表示连通分量的大小，边权重表示分量之间的连接边数。
• 将边-Szeged指数表示为三个商树上加权Szeged指数之和：$ Sz_e(G) = ∑_{i=1}^3 Sz_t(T_i, w_i, w_i'') $。
• 将PI指数表示为三个商树上加权PI指数与顶点-PI指数之和：$ PI_e(G) = ∑_{i=1}^3 (PI_e(T_i, w_i') + PI_v(T_i, w_i, w_i')) $。
• 通过递归累加子树贡献，利用动态树遍历实现加权索引的线性时间计算。
• 通过在各自分量和连接中定义分量与边权重为原始边权重之和，将该方法扩展至边加权苯环系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过结构分解在O(m)时间内计算苯环系的边-Szeged指数？
• RQ2 能否通过商树与加权索引分解在O(m)时间内计算苯环系的PI指数？
• RQ3 如何适配切割法，以通过基于树的约化高效计算苯环系的拓扑指数？
• RQ4 所提出的算法能否在保持线性时间复杂度的前提下推广至边加权苯环系？
• RQ5 苯环系中边-Szeged指数与商树加权Szeged指数之间存在何种关系？

主要发现

• 对于具有$ m $条边的苯环系，其边-Szeged指数可通过求和三个商树的加权Szeged指数，在$ O(m) $时间内计算得出。
• 对于具有$ m $条边的苯环系，其PI指数可通过求和三个商树的加权PI指数与顶点-PI指数，在$ O(m) $时间内计算得出。
• 对于包含25条边的示例苯环系，边-Szeged指数计算结果为$ Sz_e(G) = 1924 $，PI指数为$ PI_e(G) = 556 $。
• 通过在商树中将分量与边权重定义为原始边权重之和，该方法可推广至边加权苯环系。
• 任意二分图（包括苯环系）的顶点-PI指数可直接计算为总顶点数与总边数的乘积，从而确认$ PI_v(G) = n(G)m(G) $。
• 所提算法在时间复杂度上达到最优，与同类图类中Wiener指数和Szeged指数的最佳已知线性时间算法复杂度一致。