[论文解读] The energy conservation and regularity for the Navier-Stokes equations

Wenying Tan, Zhaoyang Yin|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2021

Navier-Stokes equation solutions参考文献 26被引用 5

一句话总结

本文研究了三维纳维-斯托克斯方程在端点洛伦兹-BMO 空间 $L^{2,\infty}(BMO)$ 中弱解的能量守恒与正则性。它构造了一个无散解，该解在 $BMO$ 中表现出 II 型爆破，同时在 $L^{\infty}$-范数下有界，证明了在 $L^{2,\infty}(BMO)$ 可积性条件下局部能量等式成立，并建立了当 $t \to T$ 时 $||u(t)||_{BMO} \gtrsim \frac{1}{\sqrt{T-t}}$ 的精确爆破速率。这些结果解决了在临界端点空间中关于正则性准则与能量守恒的开放问题。

ABSTRACT

In this paper, we consider the energy conservation and regularity of the weak solution $u$ to the Navier-Stokes equations in the endpoint case. We first construct a divergence-free field $u(t,x)$ which satisfies $\lim_{t o T}\sqrt{T-t}||u(t)||_{BMO}0$. Furthermore, we prove that if $||u_3||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\mathbb{R}^3))}=M

研究动机与目标

• 研究三维纳维-斯托克斯方程在临界端点空间 $L^{2,\infty}(BMO)$ 中弱解的正则性与能量守恒。
• 确定在位于已知正则性准则边界处的 $L^{2,\infty}(BMO)$ 空间中，II 型爆破是否可能发生。
• 建立解趋近有限时间奇点时 $BMO$ 范数爆破速率的精确下界。
• 证明当 $||u||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\Omega))} < \infty$ 对任意 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 成立时，局部能量等式在 $[0,T] \times \Omega$ 上成立，且若该范数在 $\mathbb{R}^3$ 上有限，则全局能量等式随之成立。
• 基于水平分量 $u_h$ 在 $L^{2,\infty}(BMO)$ 中的大小，推导出一个条件正则性准则，前提是 $u_3$ 在同一空间中有界。

提出的方法

• 通过使用奇异轮廓 $v = |x|^{\sqrt{T-t}}(-\ln|x|)^s \phi(x)$ 构造一个无散向量场 $u(t,x)$，并利用勒雷投影 $\mathbb{P}$ 投影以保证不可压缩性。
• 通过变量替换与伽马函数估计，估计 $\sqrt{T-t} \nabla v$ 的 $L^3$-范数，以控制 $u = \mathbb{P}v$ 的 $BMO$ 范数。
• 通过嵌入关系 $\dot{W}^{1,3}(\mathbb{R}^3) \hookrightarrow BMO(\mathbb{R}^3)$ 证明 $||u(t)||_{BMO} \lesssim \frac{1}{\sqrt{T-t}}$。
• 通过分析 $\mathbb{P}v$ 在原点处的 Riesz 变换分量，建立下界 $||u(t)||_{L^\infty} \gtrsim \frac{1}{(T-t)^{1 + s/2}}$。
• 利用 Riesz 变换在 $L^3$ 上的有界性以及 $\phi$ 的衰减性，控制 $\mathbb{P}v$ 的 $L^\infty$-范数。
• 通过假设 $||u_3||_{L^{2,\infty}(BMO)} = M < \infty$，并证明 $||u_h||_{L^{2,\infty}(BMO)}$ 的小性可推出全局正则性，从而推导出一个条件正则性准则。

实验结果

研究问题

• RQ1 在端点空间 $L^{2,\infty}(BMO)$ 中，II 型爆破是否可能发生？即在 $\sqrt{T-t}$ 缩放下，$||u(t)||_{BMO}$ 保持有界，但 $||u(t)||_{L^\infty}$ 爆破？
• RQ2 若 $||u||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\Omega))} < \infty$ 对任意 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 成立，是否意味着在 $[0,T] \times \Omega$ 上成立局部能量等式？
• RQ3 对于有限时间奇点解，当 $t \to T^-$ 时，$||u(t)||_{BMO}$ 的精确爆破速率为何？
• RQ4 若 $u_3$ 在 $L^{2,\infty}(BMO)$ 中有界，且 $u_h$ 在同一空间中足够小，是否可保证正则性？
• RQ5 当 $||u||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\mathbb{R}^3))} < \infty$ 时，全局能量等式是否成立？

主要发现

• 本文构造了一个无散解 $u(t,x)$，使得 $\lim_{t\to T} \sqrt{T-t} ||u(t)||_{BMO} < \infty$，但 $\lim_{t\to T} \sqrt{T-t} ||u(t)||_{L^\infty} = \infty$，表明在 $L^{2,\infty}(BMO)$ 空间中 II 型爆破是可允许的。
• 若一个合适弱解满足对任意 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^3$ 有 $||u||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\Omega))} < \infty$，则在 $[0,T] \times \Omega$ 上成立局部能量等式。这是端点情形下的精确结果。
• 若 $||u||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\mathbb{R}^3))} < \infty$，则全局能量等式在 $[0,T]$ 上成立，这是局部能量等式结果的直接推论。
• 当 $t \to T^-$ 时，任何解的 $BMO$ 范数必须以快于 $\frac{c}{\sqrt{T-t}}$ 的速率爆破，其中 $c > 0$ 为某绝对常数，从而建立了爆破速率的精确下界。
• 若 $||u_3||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\mathbb{R}^3))} = M < \infty$，则存在一正的常数 $c_M > 0$，使得当 $||u_h||_{L^{2,\infty}([0,T];BMO(\mathbb{R}^3))} \leq c_M$ 时，解 $u$ 在 $(0,T] \times \mathbb{R}^3$ 上正则，从而提供了一个条件正则性准则。
• 该构造表明，在端点情形下，$L^{2,\infty}(BMO)$ 与 $L^{2,\infty}(L^\infty)$ 不可比较：一个解可在 $\sqrt{T-t}$ 缩放下于 $BMO$ 中有界，却在 $L^\infty$ 中无界，凸显了这些空间在爆破背景下的本质差异。