[论文解读] The energy equality for the Navier-Stokes equations in bounded domains

Cheng Yu|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2018

Navier-Stokes equation solutions参考文献 12被引用 8

一句话总结

该论文通过引入涉及勒贝格空间与贝索夫空间可积性的新型正则性准则，建立了有界区域中不可压缩纳维-斯托克斯方程弱解能量等式的充分条件。利用截断函数与光滑化方法控制边界效应，证明当速度场属于 $ L^p(0,T;L^q(\bar{\Omega})) \cap L^s(0,T;B_{s}^{\alpha,\infty}(\Omega)) $ 时能量守恒成立，其中 $ \frac{2}{p} + \frac{d}{q} \leq 1 $，$ s > 2 $，且 $ 0 < \alpha < 1 $，将先前结果推广至有界区域，并通过严格的边界层分析加以完善。

ABSTRACT

In this paper, we provide a sufficient condition of the energy equality for the incompressible Navier-Stokes equations in bounded domains.

研究动机与目标

• 确定有界区域中不可压缩纳维-斯托克斯方程弱解满足能量等式的最小正则性条件。
• 将欧拉方程中的翁萨勒型正则性准则扩展至有界区域中的纳维-斯托克斯方程，尤其关注边界效应的影响。
• 解决在扩散项中控制边界层的挑战，该问题在欧拉方程中并不存在。
• 提供一个弱于先前结果的能量等式充分条件，尤其在低正则性背景下。

提出的方法

• 引入截断函数 $ \theta_h(x) = \kappa(d(x)/h) $ 局部化边界附近的分析，其中 $ \kappa $ 为光滑且紧支集函数。
• 应用光滑化 $ \mathbf{u}^\varepsilon $ 近似速度场，以控制能量恒等式推导中的奇异性。
• 利用无散度约束与测试函数的分部积分法推导能量恒等式，仔细处理压强项与梯度项。
• 采用贝索夫空间范数 $ B_{s}^{\alpha,\infty} $ 衡量正则性，尤其用于边界层控制。
• 通过霍尔德型估计与 $ \nabla \theta_h $ 的衰减控制边界贡献，利用 $ \nabla \mathbf{u} $ 的 $ L^2 $-有界性。
• 通过选择 $ h = \varepsilon^{s(1-\alpha)/(s-2)} $，确保误差项在 $ \varepsilon, h \to 0 $ 时趋于零，从而保证边界层积分的衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界区域中，纳维-斯托克斯方程弱解在何种最小正则性条件下满足能量等式？
• RQ2 在能量恒等式推导中，如何严格控制黏性项中的边界层效应？
• RQ3 能否将欧拉方程中用于能量守恒的翁萨勒型正则性准则扩展至有界区域中的纳维-斯托克斯方程？
• RQ4 贝索夫空间 $ B_{s}^{\alpha,\infty} $ 在低正则性条件下确保能量守恒中起何作用？

主要发现

• 能量等式对满足 $ \mathbf{u} \in L^\infty(0,T;L^2(\Omega)) \cap L^2(0,T;H^1(\Omega)) $ 且 $ \mathbf{u} \in L^p(0,T;L^q(\Omega)) \cap L^s(0,T;B_s^{\alpha,\infty}(\Omega)) $ 的弱解成立，其中 $ \frac{2}{p} + \frac{d}{q} \leq 1 $，$ s > 2 $，且 $ 0 < \alpha < 1 $。
• 当 $ \varepsilon, h \to 0 $ 时，扩散项引起的边界层贡献趋于零，前提是 $ h = \varepsilon^{s(1-\alpha)/(s-2)} $，从而确保能量恒等式的收敛性。
• 压强项对能量恒等式的贡献由于 $ \nabla \theta_h $ 的衰减以及 $ |\mathbf{u}|^3 $ 在 $ L^{q/3} $ 中的可积性（$ q \geq 4 $）而趋于零。
• 该方法成功地同时控制了非线性项与边界效应，将巴多斯-蒂蒂方法推广至纳维-斯托克斯方程。
• 该结果改进了先前的准则，允许低于 $ L^pL^q $ 且满足 $ \frac{2}{p} + \frac{d}{q} \leq 1 $ 的正则性，尤其在有界区域背景下。