[论文解读] The energy technique for the six-step BDF method

Georgios Akrivis, Minghua Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2020

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 11被引用 8

一句话总结

本文引入了一种基于 Grenander–Szegö 定理的松弛乘子条件，使能量技巧能够为缺乏 Nevanlinna–Odeh 乘子的六步 BDF 方法建立稳定性。通过提出一种满足更弱正定性条件的新乘子，该研究证明了具有自伴椭圆算子的抛物方程在时间依赖系数下仍具有无条件稳定性。

ABSTRACT

In combination with the Grenander--Szegö theorem, we observe that a relaxed positivity condition on multipliers, milder than the basic %fundamental requirement of the Nevanlinna--Odeh multipliers that the sum of the absolute values of their components is strictly less than $1$, makes the energy technique applicable to the stability analysis of BDF methods for parabolic equations with selfadjoint elliptic part. This is particularly useful for the six-step BDF method for which no Nevanlinna--Odeh multiplier exists. We introduce multipliers satisfying the positivity property for the six-step BDF method and establish stability of the method for parabolic equations.

研究动机与目标

• 解决六步 BDF 方法缺乏 Nevanlinna–Odeh 乘子的问题，该问题阻碍了标准能量法的应用。
• 克服五步以上高阶 BDF 方法稳定性分析中的不稳定性障碍。
• 通过在乘子上引入更弱的正定性条件，将能量技巧扩展至六步 BDF 方法。
• 在算子有有界变差的条件下，为具有时间依赖、自伴椭圆算子的抛物方程建立稳定性。
• 通过结合稳定性与相容性误差分析，提供最优误差估计的框架。

提出的方法

• 为六步 BDF 方法引入一类新乘子，其满足松弛正定性条件：对所有 $x \in \mathbb{R}$，有 $1 - \mu_1\cos x - \cdots - \mu_6\cos(6x) > 0$，该条件弱于 Nevanlinna–Odeh 条件。
• 应用 Grenander–Szegö 定理分析由能量法导出的、类似托普利茨矩阵的谱性质。
• 利用新乘子构造离散能量恒等式，推导出形式为 $|u^n|^2 + \tau \sum_{\ell=6}^n \|u^\ell\|^2 \leq C \sum_{j=0}^5 (|u^j|^2 + \tau \|u^j\|^2)$ 的稳定性估计。
• 通过在时间层 $t^m$ 冻结算子 $A(t)$ 来处理时间依赖算子，并利用有界变差条件 $\|A(t) - A(\tilde{t})\|_{\star} \leq \sigma(t) - \sigma(\tilde{t})$ 估计算子变化引起的扰动。
• 使用分部求和与离散 Gronwall 不等式，控制时间依赖算子变化带来的累积误差。
• 在含强迫项与相容性误差的扰动格式下建立稳定性，从而实现最优阶误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 能量技巧能否被扩展至缺乏 Nevanlinna–Odeh 乘子的六步 BDF 方法？
• RQ2 何种松弛乘子条件可确保六步 BDF 方法的稳定性，而无需满足严格的 $\sum |\mu_j| < 1$ 条件？
• RQ3 能量法如何适应抛物方程中时间依赖、自伴椭圆算子的情形？
• RQ4 Grenander–Szegö 定理在分析基于乘子的能量泛函正定性方面起什么作用？
• RQ5 在算子有有界变差的条件下，能否为六步 BDF 方法推导出最优误差估计？

主要发现

• 构造了一类新的六步 BDF 方法乘子，满足对所有 $x \in \mathbb{R}$ 有 $1 - \sum_{j=1}^6 \mu_j \cos(jx) > 0$，其正定性条件弱于 Nevanlinna–Odeh 要求。
• 利用这些乘子，成功将能量技巧应用于六步 BDF 方法，为具有自伴椭圆算子的抛物方程建立了无条件稳定性。
• 证明了在算子 $A(t)$ 满足有界变差条件 $\|A(t) - A(\tilde{t})\|_{\star} \leq \sigma(t) - \sigma(\tilde{t})$ 时的稳定性。
• 稳定性估计 $|u^m|^2 + \tau \sum_{\ell=6}^m \|u^\ell\|^2 \leq C \sum_{j=0}^5 (|u^j|^2 + \tau \|u^j\|^2)$ 成立，且常数 $C$ 与 $\tau$ 和 $m$ 无关。
• 通过将稳定性结果与扰动格式的相容性误差分析相结合，该方法实现了最优阶误差估计。
• 对累积变差项 $M^m$ 应用离散 Gronwall 不等式，得到一致有界性，从而导出最终的稳定性界。