[论文解读] The eta-invariant, Maslov index, and spectral flow for Dirac-type operators on manifolds with boundary

Paul Kirk, Matthias Lesch|ArXiv.org|Dec 15, 2000

Advanced Operator Algebra Research被引用 9

一句话总结

本文建立了流形边界上狄拉克算子的 $η$-不变量的新粘合公式，通过涉及 Calderón 投影算子和边界投影的 Maslov 三重指标表达整数校正项。该公式提供了一个几何内在的表达式，将谱流、Maslov 指标与 $η$-不变量联系起来，并应用于阿蒂亚-帕多家-辛格 $ρ$-不变量及非加法性定理。

ABSTRACT

Several proofs have been published of the Mod Z gluing formula for the eta-invariant of a Dirac operator. However, so far the integer contribution to the gluing formula for the eta-invariant is left obscure in the literature. In this article we present a gluing formula for the eta-invariant which expresses the integer contribution as a triple index involving the boundary conditions and the Calderon projectors of the two parts of the decomposition. The main ingredients of our presentation are the Scott-Wojciechowski theorem for the determinant of a Dirac operator on a manifold with boundary and the approach of Bruning-Lesch to the mod Z gluing formula. Our presentation includes careful constructions of the Maslov index and triple index in a symplectic Hilbert space. As a byproduct we give intuitively appealing proofs of two theorems of Nicolaescu on the spectral flow of Dirac operators. As an application of our methods, we carry out a detailed analysis of the eta-invariant of the odd signature operator coupled to a flat connection using adiabatic methods. This is used to extend the definition of the Atiyah-Patodi-Singer rho-invariant to manifolds with boundary. We derive a ``non-additivity'' formula for the Atiyah-Patodi-Singer rho-invariant and relate it to Wall's non-additivity formula for the signature of even-dimensional manifolds.

研究动机与目标

• 通过三重指标内在地表达 $η$-不变量粘合公式中整数贡献项，以解决长期存在的模糊性问题。
• 在辛希尔伯特空间框架下，为 $η$-不变量提供一个几何自然的公式，整合谱流与 Maslov 指标。
• 利用绝热方法将阿蒂亚-帕多家-辛格 $ρ$-不变量推广至带边流形，并推导出非加法性公式。
• 在新框架下，给出尼古莱斯库谱流定理的直观、概念清晰的证明。
• 通过绝热拉伸分析奇数符号算子与平坦联络的耦合，阐明 $L^2$ 解与拉格朗日子空间的作用。

提出的方法

• 利用 Scott–Wojciechowski 定理处理带边流形上狄拉克算子的行列式恒等式。
• 应用 Brüning–Lesch 方法对 $η$-不变量模 $Т$ 的粘合公式，定义精细的整数校正项。
• 在辛希尔伯特空间设定下构造 Maslov 指标与三重指标，使用投影算子与拉格朗日子空间。
• 采用边界邻域的绝热拉伸方法，分析 $η$-不变量在边界几何形变下的行为。
• 依赖 Calderón 投影算子与边界投影 $P$，定义狄拉克算子的自伴延拓。
• 利用一参数族算子 $D_{P_t}$ 的谱流计算整数校正项。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以与任意选择无关的方式表达 $η$-不变量粘合公式中的整数贡献项？
• RQ2 在带边流形上狄拉克算子的背景下，Maslov 指标、谱流与 $η$-不变量之间的精确关系是什么？
• RQ3 当边界条件不是互补投影时，$η$-不变量在粘合下的行为如何？
• RQ4 阿蒂亚-帕多家-辛格 $ρ$-不变量能否推广至带边流形？其行为受何种非加法性公式控制？
• RQ5 $L^2$ 解在 $M^+$ 与 $M^-$ 上的作用在 $η$-不变量非加法性中起什么作用？

主要发现

• 在 $η$-不变量粘合公式中，整数校正项被表达为 Maslov 三重指标 $\tau_{\mu}(I-P_{M^{-}}, P, P_{M^{+}})$，提供了一个几何内在的公式。
• 对于任意 $P \in \mathrm{Gr}(A)$，公式 $\widetilde{\eta}(D,M) = \widetilde{\eta}(D_{P},M^{+}) + \widetilde{\eta}(D_{I-P},M^{-}) + \mathrm{SF}(D_{P_t},M^{+}) + \mathrm{SF}(D_{I-P_t},M^{-})$ 成立，其中谱流项捕捉了整数贡献。
• 对于与平坦联络耦合的奇数符号算子，谱流项在拓扑上消失，且 $W_{\pm} \oplus \gamma(W^{\perp}_{\pm})$ 的辛不变量也因定理 8.5 的额外控制而消失。
• 当 $L^{\infty}_{M^{-}} \cap L^{\infty}_{M^{+}} = 0$ 时，对充分大的 $r$，有 $\widetilde{\eta}(D,M_r) = \widetilde{\eta}(D,M^{+};F^{+}_{\nu} \oplus W_{+} \oplus \gamma(W_{+}^{\perp}) \oplus V_{+}) + \widetilde{\eta}(D,M^{-};F^{-}_{\nu} \oplus W^{\perp}_{+} \oplus \gamma(W_{+}) \oplus \gamma(V_{+}))$。
• 在阿蒂亚-帕多家-辛格边界条件下，$η$-不变量的非加法性由谱流之差度量：$\mathrm{SF}(D,M^{-}_{r};F^{+}\oplus V_{+}) - \mathrm{SF}(D,M_{r})$，对 $r \geq r_0$ 成立。
• 阿蒂亚-帕多家-辛格 $ρ$-不变量的非加法性公式与墙氏关于偶数维流形示性数的非加法性定理相关，通过拉格朗日子空间的辛不变量建立联系。