[论文解读] The Euler Series of Restricted Chow Varieties

Javier Elizondo|ArXiv.org|Aug 11, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 1被引用 7

一句话总结

本文引入了具有环面作用的射影代数簇的受限查沃簇的欧拉级数，证明在存在有限多个不变子簇的条件下该级数是有理的。该框架被扩展至光滑簇的等变设置，建立了有理性结果，并利用同调类与有效循环幺半群上的卷积代数，显式计算了射影空间和希策布鲁赫曲面等例子。

ABSTRACT

Let X be an algebraic projective variety in {\bf P}^n. Denote by {\cal C}_λ the space of all effective cycles on X whose homology class is λ\in H_{2p} (X,{\bf Z}). It is easy to show that {\cal C}_λ is an algebraic projective variety. Let χ({\cal C}_λ be its Euler characteristic. Define the Euler series of X by E_{p} = \sum_{λ\in{C}} \, χ({\cal C}_λ λ \in \, {\bf Z}[[C]] where {\bf Z}[[C]] is the full algebra over {\bf Z} of the monoid C of all homology classes of effective p-cyles on X. This algebra is the ring of function (with respect the convolution product) over C. Denote by {\bf Z}[C] the ring of functions with finite support on C. We say that an element of {\bf Z}[[C]] is rational if it is the quotient of two elements in {\bf Z}[C]. If a basis for homology is fixed we can associated to any rationa element a rational function and therefore compute the Euler characteristic of {\cal C}_λ. We prove that E_p is rational for any projective variety endowed with an algebraic torus action in such a way that there are finitely many irreducible invariant subvarieties. If it is smooth we also define the equivariant Euler series and proved it is rational, we relate both series and compute some classical examples. The projective space {\bf P}^n, the blow up of {\bf P}^n at a point, Hirzebruch surfaces, the product of {\bf P}^n with {\bf P}^m.

研究动机与目标

• 定义并研究受限查沃簇的欧拉级数，其编码了射影簇上有效循环空间的欧拉示性数。
• 确立该级数为有理函数的条件，特别是对于在代数环面作用下具有有限多个不可约不变子簇的簇。
• 将欧拉级数扩展至光滑簇的等变设置，并将其与非等变版本相关联。
• 为经典簇（如射影空间、爆破和希策布鲁赫曲面）显式计算欧拉级数。

提出的方法

• 将查沃簇 $\mathcal{C}_\lambda$ 定义为射影簇 $X$ 上具有固定同调类 $\lambda \in H_{2p}(X, \mathbb{Z})$ 的有效循环空间，证明其为代数射影簇。
• 在环 $\mathbb{Z}[[C]]$ 中构造欧拉级数 $E_p = \sum_{\lambda \in C} \chi(\mathcal{C}_\lambda) \cdot \lambda$，其中 $C$ 为有效 $p$-循环类的幺半群。
• 利用 $\mathbb{Z}[[C]]$ 上的卷积代数结构，将有理性定义为 $\mathbb{Z}[C]$（具有有限支集的函数环）中元素的商。
• 证明当 $X$ 允许代数环面作用且具有有限多个不可约不变子簇时，$E_p$ 的有理性。
• 为光滑簇定义等变欧拉级数，并通过等变陈类或局部化技巧将其与非等变版本关联。
• 为标准例子显式计算该级数：$\mathbb{P}^n$，$\mathbb{P}^n$ 在一点的爆破，希策布鲁赫曲面，以及积 $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，受限查沃簇的欧拉级数是有理的？
• RQ2 当存在具有有限多个不变子簇的环面作用时，如何影响欧拉级数的有理性？
• RQ3 光滑射影簇的等变与非等变欧拉级数之间存在何种关系？
• RQ4 能否为经典代数簇（如 $\mathbb{P}^n$ 和希策布鲁赫曲面）显式计算欧拉级数？
• RQ5 在有效循环类幺半群上的形式幂级数环上的卷积代数结构，如何促进有理性的证明？

主要发现

• 对于具有代数环面作用且具有有限多个不可约不变子簇的任意射影簇，欧拉级数 $E_p$ 是有理的。
• 对于光滑簇，等变欧拉级数也是有理的，且建立了等变与非等变级数之间的精确关系。
• 为 $\mathbb{P}^n$、$\mathbb{P}^n$ 在一点的爆破、希策布鲁赫曲面以及 $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^m$ 显式计算了欧拉级数的有理表达式。
• 通过有效循环类幺半群的结构以及 $\mathbb{Z}[[C]]$ 上的卷积代数，证明了 $E_p$ 的有理性，其中“有理”被定义为 $\mathbb{Z}[C]$ 中元素的商。
• 该构造使得每个 $\lambda$ 的欧拉示性数 $\chi(\mathcal{C}_\lambda)$ 可通过关联的有理函数显式计算。
• 该框架提供了一套系统方法，利用环面对称下的代数与同调数据计算查沃簇的欧拉示性数。