[论文解读] The extension and convergence of mean curvature flow in higher codimension

Kefeng Liu, Hongwei Xu+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 13

一句话总结

本文建立了积分曲率条件，确保在高余维情形下闭子流形的平均曲率流可延拓并收敛。通过将先前关于有界几何的黎曼流形中子流形的结果推广，证明了若第二基本形式受控且平均曲率的 $L^\alpha$ 范数满足 $\alpha \geq n+2$，则流可延拓至任意有限时间之后。关键结果是两个收敛定理，表明在迹零第二基本形式的适当 $L^p$ 有界条件下，经缩放后流坍缩为一点，且极限为球面。

ABSTRACT

In this paper, we first investigate the integral curvature condition to extend the mean curvature flow of submanifolds in a Riemannian manifold with codimension $d\geq1$, which generalizes the extension theorem for the mean curvature flow of hypersurfaces due to Le-Šešum \cite{LS} and the authors \cite{XYZ1,XYZ2}. Using the extension theorem, we prove two convergence theorems for the mean curvature flow of closed submanifolds in ${R}^{n+d}$ under suitable integral curvature conditions.

研究动机与目标

• 在积分曲率条件下，将闭子流形在高余维情形下的平均曲率流延拓至有限最大时间区间之外。
• 在 $\mathbb{R}^{n+d}$ 中闭子流形的平均曲率流下，建立基于迹零第二基本形式 $L^p$ 有界的收敛定理。
• 将先前关于超曲面的延拓定理推广至具有有界几何的黎曼流形中的子流形。
• 提供充分条件，使得平均曲率流收敛于一个标准点或全测地子流形，从而推出微分同胚于球面。

提出的方法

• 利用涉及平均曲率向量的 $L^\alpha$ 范数（$\alpha \geq n+2$）的积分曲率条件，以控制奇点并延拓流。
• 通过 $|A|^2$ 和 $|H|^2$ 的一致有界性，将超曲面的延拓定理推广至具有有界几何的黎曼流形中的子流形。
• 应用迹零第二基本形式 $\mathring{A} = A - \frac{1}{n}g \otimes H$ 来度量偏离球面的程度并控制收敛性。
• 通过 $\widetilde{F}_t = \frac{F_t - x}{\sqrt{2n(T-t)}}$ 对流进行缩放，以分析渐近行为，并证明其在 $C^\infty$ 意义下收敛于单位 $n$-球面。
• 利用最大存在时间估计与抛物型正则性，确保在有限时间区间内存在光滑解。
• 推导出依赖于 $n$、$p$、体积以及 $A$ 或 $H$ 的 $L^{n+2}$ 范数的显式常数 $C_1$ 和 $C_2$，以定义收敛阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种积分曲率条件下，可将 $\mathbb{R}^{n+d}$ 中闭子流形的平均曲率流延拓至有限最大时间 $T$ 之后？
• RQ2 对迹零第二基本形式 $\mathring{A}$ 的何种 $L^p$ 有界性可确保平均曲率流在有限时间内收敛于一个标准点？
• RQ3 若子流形满足 $||\mathring{A}||_p < C$（$p > n$），是否可保证平均曲率流收敛于一点，且经缩放后收敛于单位 $n$-球面？
• RQ4 $\mathring{A}$ 的 $L^n$ 范数足够小时，是否意味着 $\mathbb{R}^{n+d}$ 中的闭子流形微分同胚于标准 $n$-球面？
• RQ5 在正曲率空间形式中，平均曲率流是否在 $\mathring{A}$ 的 $L^n$ 控制下导致有限时间坍缩为一点，或收敛于全测地子流形？

主要发现

• 若在具有有界几何的黎曼流形中，有 $|A|^2 \leq a|H|^2 + b$ 且 $\|H\|_{\alpha,M\times[0,T)} < \infty$（$\alpha \geq n+2$），则闭子流形的平均曲率流可延拓至时间 $T$ 之后。
• 若 $\|\mathring{A}\|_p < C_1$（$p > 1$），则 $\mathbb{R}^{n+d}$ 中的平均曲率流在有限时间区间 $[0,T)$ 内存在，并一致收敛于一点，且经缩放后在 $C^\infty$ 意义下收敛于单位 $n$-球面。
• 当 $p > n$ 且 $\|\mathring{A}\|_p < C_2$ 时，$\mathbb{R}^{n+d}$ 中的平均曲率流同样存在于有限时间区间内，并收敛于一点，经缩放后极限仍为单位 $n$-球面。
• 收敛定理蕴含微分同胚球面定理：若迹零第二基本形式的 $L^p$ 范数足够小，则闭子流形微分同胚于标准 $n$-球面。
• 显式常数 $C_1$ 和 $C_2$ 分别依赖于 $n$、$p$、流形 $M$ 的体积以及 $\|A\|_{n+2}$ 或 $\|H\|_{n+2}$，为收敛提供了定量阈值。
• 本结果为通过将 $\|\mathring{A}\|_4$ 较小的同伦 4-球面嵌入欧氏空间，进而证明 4 维光滑庞加莱猜想提供了潜在路径。