[论文解读] The fewest-big-jumps principle and an application to random graphs

Céline Kerriou, Peter Mörters|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2022

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 4

一句话总结

本文提出了“最少大跳跃”原理，即对在规模 $ n $ 处截断的、重尾的 i.i.d. 随机变量之和，建立了一个大偏差原理，表明罕见的大和值来源于靠近截断边界处的极少数极端值。该理论应用于在环面上具有重尾半径的随机几何图模型，证明了异常的边数由有限个宏观出度决定，而入度则保持微观尺度。

ABSTRACT

We prove a large deviation principle for the sum of n independent heavy-tailed random variables, which are subject to a moving cut-off boundary at location n. Conditional on the sum being large at scale n, we show that a finite number of summands take values near the cut-off boundary, while the remaining variables still obey the law of large numbers. This generalises the well-known single-big-jump principle for random variables without cut-off to a situation where just the minimal necessary number of jumps occur. As an application, we consider a random graph with vertex set given by the lattice points of a torus with sidelength 2N+1. Every vertex is the centre of a ball with random radius sampled from a heavy-tailed distribution. Oriented edges are drawn from the central vertex to all other vertices in this ball. When this graph is conditioned on having an exceptionally large number of edges we use our main result to show that, as N goes to infinity, the excess outdegrees condense in a fixed, finite number of randomly scattered vertices of macroscopic outdegree. By contrast, no condensation occurs for the indegrees of the vertices, which all remain microscopic in size.

研究动机与目标

• 建立在规模 $ n $ 处截断的 i.i.d. 重尾随机变量之和的大偏差原理，其中截断导致大跳跃数最小化。
• 将经典的“单个大跳跃”原理推广至单个跳跃不足以解释偏差的场景。
• 分析在环面上具有重尾半径的有限几何随机图模型中边数的大偏差行为。
• 证明在大偏差条件作用下，出度在有限个顶点上发生凝聚，而入度则保持微观尺度。
• 通过展示在边表示方式（入度与出度之和）不同时，协同与最小跳跃两种大偏差范式可共存，从而统一大偏差理论。

提出的方法

• 推导 $ S_n = igsum_{k=1}^n W_k^{(n)} $ 的大偏差原理，其中 $ W_k^{(n)} riangleq W igwedge n $，$ W $ 具有指数为 $ -ar{ u} $ 的正则变尾，且 $ ar{ u} > 1 $。
• 使用 i.i.d. 随机变量的三角阵列 $ (W_k^{(n)})_{k=1}^n $，在假设 1–3 下满足 $ L^p $ 有界性及均值收敛性。
• 将 $ W_k^{(n)} = U_k^{(n)} + V_k^{(n)} $ 分解，其中 $ V_k^{(n)} $ 为大跳跃部分（$ > ar{ u} n $），$ U_k^{(n)} $ 为典型部分，以分离极端与典型贡献。
• 通过测度变换与指数倾斜控制典型部分，利用切比雪夫不等式与 $ L^2 $-界。
• 在正则变尾与慢变函数下，通过 $ o^*(1) $-记号建立尾测度收敛的一致性。
• 将主结果应用于随机几何图模型：顶点位于环面上，每个顶点具有随机半径（重尾），并朝所有位于其球内的点发出有向边。

Figure 1: The figure illustrates how an open cube of sidelength $y/\sqrt{d}$ can be fit into $S_{\varepsilon}$ .

实验结果

研究问题

• RQ1 当单个大跳跃不足以解释偏差时，对在 $ n $ 处截断的 $ n $ 个 i.i.d. 重尾随机变量之和，其最优大偏差策略是什么？
• RQ2 随着截断阈值增长，其如何改变经典“单个大跳跃”范式在大偏差中的作用？
• RQ3 在具有重尾半径的随机几何图中，导致边数异常多的机制是什么？
• RQ4 为何在大偏差条件作用下，出度表现出宏观凝聚，而入度保持微观尺度？
• RQ5 最少大跳跃原理是否可应用于经典的几何随机图模型（如布尔模型或尺度自由渗流模型）？

主要发现

• 对 $ S_n $ 的大偏差原理由恰好 $ k $ 个随机变量取值接近截断边界 $ n $ 所驱动，其中 $ k $ 为实现偏差所需的最小数量。
• 在 $ S_n \to \text{大尺度 } n $ 条件下，大跳跃的数量为有限且几乎必然等于最小的 $ k $，使得 $ k \times \text{典型超额值} \to \text{偏差大小} $。
• 在随机几何图模型中，当边数异常多时，超额出度集中在有限个顶点上，每个顶点具有宏观出度。
• 相比之下，在相同条件下，所有顶点的入度均保持微观尺度，表明入度结构中无凝聚现象。
• 出度之和遵循“最少大跳跃”原理，而入度之和则因求和表示的对称性而遵循经典协同范式。
• 该结果在尾函数 $ G(x) = \bar{ u}^{-ar{ u}} \bar{ u}(x) $ 满足正则变性、且 $ \bar{ u} > 1 $ 的条件下成立，且在收缩区间上测度 $ \nu $ 的收敛具有一致性。

Figure 2: The figure illustrates how $W^{(n)}$ can be bounded from above by the volume of $B(0,R_{0})$ plus the number of unit cubes in $\mathbb{T}_{N}$ that intersect the boundary of the ball. A lower bound follows by subtracting the number of unit cubes in $\mathbb{T}_{N}$ intersecting the boundar