[论文解读] The Finsler Type of Space-time Realization of Deformed Very Special Relativity

Lei Zhang, Xun Xue|arXiv (Cornell University)|May 5, 2012

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文研究了从形变非常特殊相对论（VSR）理论中产生的芬斯勒型时空几何，重点关注半直积庞加莱子群及其形变。结果表明，大多数此类群导致芬斯勒-闵可夫斯基度量，即使在洛伦兹对称性破缺的情况下，旋转对称性依然得以保持，并识别出一类允许的几何结构，其度量依赖于任意函数，仅受物理动力学的约束。

ABSTRACT

We investigate here all the possible invariant metric functions under the action of various kinds of semi-direct product Poincaré subgroups and their deformed partners. The investigation exhausts the possible theoretical frameworks for the spacetime realization of Cohen-Glashow's very special relativity and the deformation very special relativity approach by Gibbons-Gomis-Pope. Within Finsler-Minkowski type of spacetime, we find that the spacetime emerge a Finsler type of geometry in most cases both for undermed Poincaré subgroup and for deformed one. We give an explanation that the rotation operation should be kept even in a Lorentz violating theory from geometrical view of point. We also find that the admissible geometry for $DTE3b$, TE(2), ISO(3) and ISO(2,1) actually consists of a family in which the metric function vary with a freedom of arbitrary function of the specified combination of variables. The only principle for choosing the correct geometry from the family can only be the dynamical behavior of physics in the spacetime.

研究动机与目标

• 在形变非常特殊相对论的背景下，对半直积庞加莱子群及其形变伙伴的所有可能不变度量函数进行分类。
• 确定是否从这些对称性群自然地涌现出芬斯勒型时空几何。
• 从几何视角阐明旋转对称性在洛伦兹对称性破缺理论中的作用。
• 识别由物理动力学在所得时空框架中产生的度量函数的约束条件。
• 系统性地建立对称性群及其对应芬斯勒度量函数的分类，涵盖未形变与形变两种情形。

提出的方法

• 作者分析了三和四生成元洛伦兹子群（如 TE(2)、DTE3b、ISO(3)、ISO(2,1)）与时空平移 T(4) 的半直积作用。
• 通过不变性原理和张量分析，推导出这些群作用下的不变度量函数。
• 研究采用芬斯勒-闵可夫斯基框架，构建在指定对称性群下保持不变的时空度量。
• 对于形变群如 DISIM_b(2)，线元形式为 $ ds^2 = (\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu)^{1-b} (n_\mu dx^\mu)^{2b} $，其为芬斯勒型且具有洛伦兹对称性破缺特性。
• 分析包括构建以特定变量组合的任意函数为参数的度量函数族，特别针对 DTE3b、TE(2)、ISO(3) 和 ISO(2,1)。
• 通过要求群作用下的不变性，推导出几何约束，从而实现可能芬斯勒结构的分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非常特殊相对论中，哪些芬斯勒型度量函数在半直积庞加莱子群及其形变版本下保持不变？
• RQ2 旋转对称性在洛伦兹对称性破缺时空中如何体现，为何其几何上是必要的？
• RQ3 任意函数在定义如 TE(2) 和 ISO(3) 等对称群的度量中起什么作用？
• RQ4 DISIM_b(2) 中的形变参数如何唯一确定芬斯勒结构？
• RQ5 是否存在任何物理约束，能够从允许的几何族中选择特定度量？

主要发现

• 大多数半直积庞加莱子群及其形变伙伴导致芬斯勒型时空几何，其度量函数由群不变性决定。
• 在洛伦兹对称性破缺理论中，旋转操作保持不变，因为存在不变度量函数本身即排除了旋转区段中的尺度变换。
• 对于 DTE3b、TE(2)、ISO(3) 和 ISO(2,1)，可接受的芬斯勒度量构成一族以特定变量组合的任意函数为参数的度量，表明存在极大的几何自由度。
• 形变的 DISIM_b(2) 群通过形变参数 b 唯一确定其芬斯勒度量，线元为 $ ds^2 = (\eta_{\mu\nu}dx^\mu dx^\nu)^{1-b} (n_\mu dx^\mu)^{2b} $。
• 庞加莱群对应于一般 DISIM 度量中的特殊情形 A=0，而 A=1 对应于 DTE2a1 群。
• 尽管几何自由度极大，物理动力学——如场论中的非局部项和粒子动力学中的分数阶导数——对可行度量形式施加了约束。