[论文解读] The Fourier Transforms of the Chebyshev and Legendre Polynomials

A. S. Fokas, S. A. Smitheman|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2012

Mathematical functions and polynomials参考文献 11被引用 4

一句话总结

本文推导出切比雪夫多项式和勒让德多项式有限傅里叶变换的显式解析表达式，从而实现对半阶贝塞尔函数的新表示。该方法被应用于凸多边形中偏微分方程求解的统一方法，结果表明：当在傅里叶空间中使用经优化的配点时，勒让德多项式可实现更优的数值条件性和谱精度。

ABSTRACT

Analytic expressions for the Fourier transforms of the Chebyshev and Legendre polynomials are derived, and the latter is used to find a new representation for the half-order Bessel functions. The numerical implementation of the so-called unified method in the interior of a convex polygon provides an example of the applicability of these analytic expressions.

研究动机与目标

• 推导切比雪夫多项式与勒让德多项式有限傅里叶变换的闭式解析表达式。
• 将这些变换应用于凸多边形中线性椭圆型偏微分方程求解的统一方法。
• 证明：在统一方法中使用勒让德多项式与特定配点可获得比其他基更优条件的线性系统。
• 通过勒让德多项式变换，提供半阶贝塞尔函数的新显式表示。
• 在正方形区域上通过数值实验验证该方法，结果表明具有谱精度且矩阵条件性得到改善。

提出的方法

• 通过代换 $ x = \cos w $ 推导切比雪夫多项式的有限傅里叶变换，将积分转化为三角函数形式。
• 建立辅助函数 $ K_m(z) $ 的递推关系，从而实现傅里叶变换系数的递归计算。
• 利用分部积分与三角恒等式，推导出变换的一般形式，表示为 $ i\lambda $ 的负幂次之和，其中系数 $ \alpha_n^m $ 通过二项式与乘积项定义。
• 将勒让德多项式变换应用于统一方法中的全局关系，将未知边界值表示为勒让德函数的展开形式。
• 沿复 $ \lambda $-平面上的射线选择配点，如先前工作所建议，以保持半块循环结构并改善条件性。
• 通过包含 $ N $、$ 3N/2 $ 和 $ 2N $ 个配点的超定线性系统实现数值求解，通过其 $ l^1 $-范数对行与列进行归一化，以维持稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为切比雪夫多项式与勒让德多项式的有限傅里叶变换推导出显式解析表达式？
• RQ2 这些变换如何用于构造半阶贝塞尔函数的新表示？
• RQ3 在统一方法中使用勒让德多项式与其他基相比，对求解凸多边形中偏微分方程有何影响？
• RQ4 不同配点选择如何影响所得线性系统的条件性与精度？
• RQ5 使用勒让德多项式与优化配点是否能实现偏微分方程数值解的谱精度？

主要发现

• 勒让德多项式的有限傅里叶变换给出了半阶贝塞尔函数的新显式表示。
• 切比雪夫多项式的变换表示为包含 $ \lambda^{-n} $ 项的有限和，其系数 $ \alpha_n^m $ 通过递归分部积分推导得出。
• 在统一方法中使用勒让德多项式作为基函数，相比傅里叶基或其他基，可获得更优条件的线性系统。
• 数值实验表明，将线性系统超定两倍（即使用 $ 2N $ 个配点求解 $ N $ 个未知数）可确保极佳的矩阵条件性。
• 该方法实现了谱精度，相对误差 $ E_\infty $ 随 $ N $ 增大而迅速减小，如图2所示。
• 对于修正亥姆霍兹方程，配点矩阵的半块循环结构与拉普拉斯方程情形相同，从而支持高效的求解策略。