[论文解读] The free field: zero divisors, Atiyah property and realizations via unbounded operators

Tobias Mai, Roland Speicher+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 29被引用 7

一句话总结

本文建立了非交换有理函数的代数框架与解析框架之间的同构关系，表明对于自由熵维数达到最大的算子元组，非平凡有理函数的取值为无界算子且无零因子。关键结果确认：在自由域中可逆的矩阵在作为无界算子时仍保持可逆性，从而解决了零因子问题，并与阿蒂亚性质相关联。

ABSTRACT

We consider noncommutative rational functions as well as matrices in polynomials in noncommuting variables in two settings: in an algebraic context the variables are formal variables, and their rational functions generate the "free field"; in an analytic context the variables are given by operators from a finite von Neumann algebra and the question of rational functions is treated within the affiliated unbounded operators. Our main result shows that for a "good" class of operators - namely those for which the free entropy dimension is maximal - the analytic and the algebraic theory are isomorphic. This means in particular that any non-trivial rational function can be evaluated as an unbounded operator for any such good tuple and that those operators don't have zero divisors. On the matrix side, this means that matrices of polynomials which are invertible in the free field are also invertible as matrices over unbounded operators when we plug in our good operator tuples. We also address the question how this is related to the strong Atiyah property. The above yields a quite complete picture for the question of zero divisors (or atoms in the corresponding distributions) for operator tuples with maximal free entropy dimension. We give also some partial results for the question of existence and regularity of a density of the distribution.

研究动机与目标

• 在有限冯诺依曼代数中的无界算子设置下，建立非交换有理函数（自由域）的代数理论与解析理论之间的桥梁。
• 解决具有最大自由熵维数的算子元组中非交换有理函数的零因子问题。
• 建立自由域中代数可逆性与无界算子设置中解析可逆性之间的等价性。
• 研究最大自由熵维数与强阿蒂亚性质之间的联系。
• 考察此类算子元组的谱分布的正则性与绝对连续性。

提出的方法

• 使用矩阵微分几何与非交换导数分析非交换多项式环上矩阵的内秩与满秩性质。
• 应用沃伊古列夫斯库的公式与达布罗夫斯基的不等式，关联自由费雪信息与自由熵维数。
• 采用线性化技术处理有理函数及有理闭包，以处理非交换有理表达式。
• 利用共轭系统与 $L^2$-理论研究自由微分算子的结构，以分析无界算子的性质。
• 通过可逆矩阵 $U$、$V$ 等的矩阵分解，运用约化论证将矩阵化为典范形式。
• 依赖自由概率与算子代数的成果，特别是与关联无界算子及施瓦茨类算子相关的理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，非交换有理函数的取值为无界算子且无零因子？
• RQ2 自由域中的代数性质如何与无界算子设置中的解析性质相关联？
• RQ3 最大自由熵维数在确保有理函数环上矩阵在算子设置下的可逆性中起何种作用？
• RQ4 强阿蒂亚性质如何与有理函数谱分布中无原子性的关系相关？
• RQ5 在何种条件下，此类算子元组的谱测度具有绝对连续性与正则性？

主要发现

• 对于具有最大自由熵维数的算子元组，每一个非平凡有理函数的取值均为无界算子且无零因子。
• 在自由域中可逆的多项式矩阵在代入此类元组后，作为无界定义域上的算子仍保持可逆性。
• 对于具有最大自由熵维数的算子，非交换有理函数的代数理论与解析理论之间存在同构关系。
• 此类算子元组满足强阿蒂亚性质，意味着有理函数的谱分布中不存在原子。
• 在适当条件下，此类元组中非有理函数的谱测度是绝对连续的，迹公式与对偶系统提供了结构上的深入理解。
• 本文证明：非交换多项式环上的满秩矩阵可通过可逆变换约化为典范形式，从而确认了可逆性所必需的结构性质。