[论文解读] The full automorphism group of the power (di)graph of a finite group

Min Feng, Xuanlong Ma+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2014

Finite Group Theory Research参考文献 4被引用 4

一句话总结

本文确定了任意有限群的幂有向图与幂图的完整自同构群，解决了Doostabadi、Erfanian和Jafarzadeh于2013年提出的猜想。研究发现，自同构群是循环子群生成元上的对称群的半直积，以及保持循环子群结构的群的半直积，当 $ n $ 不是素数幂时，该猜想得到证实。

ABSTRACT

We describe the full automorphism group of the power (di)graph of a finite group. As an application, we solve a conjecture proposed by Doostabadi, Erfanian and Jafarzadeh in 2013.

研究动机与目标

• 确定任意有限群的幂（有向）图的完整自同构群。
• 解决Doostabadi、Erfanian和Jafarzadeh于2013年提出的关于 $ \mathbb{Z}_n $ 的幂图自同构群的猜想。
• 以循环子群及其生成元为基准，刻画自同构群的结构。
• 建立猜想成立的条件，特别是当 $ n $ 不是素数幂时。

提出的方法

• 定义 $ \mathcal{C}(G) $ 为 $ G $ 的所有循环子群的集合，$ [C] $ 为每个循环子群 $ C \in \mathcal{C}(G) $ 的生成元集合。
• 引入 $ P(G) $，即作用于 $ \mathcal{C}(G) $ 上并保持循环子群的阶、包含关系与非包含关系的置换群。
• 将幂有向图的自同构群构造为 $ \left(\prod_{i=1}^{k} S_{[C_i]}\right) \rtimes P(G) $，其中 $ S_{[C_i]} $ 作用于 $ C_i $ 的生成元。
• 定义在关系 $ N[x] = N[y] $ 下的等价类 $ \overline{x} $，并利用它们将幂图的自同构群描述为 $ \left(\prod_{i=1}^{l} S_{\overline{u_i}}\right) \rtimes P(G) $。
• 使用半直积结构 $ S_{p-1} \wr S_m $ 描述初等阿贝尔 $ p $-群的自同构群。
• 通过子群格与自同构作用，对特定群（循环群、初等阿贝尔群、二面体群和广义四元数群）验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限群的幂有向图的完整自同构群是什么？
• RQ2 有限群的幂图的完整自同构群是什么？
• RQ3 当 $ n $ 不是素数幂时，2013年关于 $ \mathrm{Aut}(\mathcal{P}_{Z_n}) $ 的猜想是否成立？
• RQ4 自同构如何作用于幂图中由闭邻域定义的等价类上？
• RQ5 二面体群与广义四元数群的自同构群结构如何？

主要发现

• 有限群 $ G $ 的幂有向图的自同构群同构于 $ \left(\prod_{i=1}^{k} S_{[C_i]}\right) \rtimes P(G) $，其中 $ P(G) $ 保持循环子群结构。
• 有限群 $ G $ 的幂图的自同构群同构于 $ \left(\prod_{i=1}^{l} S_{\overline{u_i}}\right) \rtimes P(G) $，其中 $ \overline{u_i} $ 是具有相同闭邻域的顶点的等价类。
• 当 $ n $ 不是素数幂时，2013年关于 $ \mathrm{Aut}(\mathcal{P}_{Z_n}) $ 的猜想得到证实，且 $ \mathrm{Aut}(\mathcal{P}_{Z_n}) \cong S_{\varphi(n)+1} \times \prod_{d \in D(n)\setminus\{1,n\}} S_{\varphi(d)} $。
• 对于初等阿贝尔 $ p $-群 $ \mathbb{Z}_p^n $，其自同构群为 $ S_{p-1} \wr S_m $，其中 $ m = \frac{p^n - 1}{p - 1} $。
• 对于二面体群 $ D_{2n} $，当 $ n $ 不是素数幂时，有 $ \mathrm{Aut}(\mathcal{P}_{D_{2n}}) \cong \prod_{d \mid n} S_{\varphi(d)} \times S_n $，当 $ n $ 是素数幂时，有 $ S_{n-1} \times S_n $。
• 对于广义四元数群 $ Q_{4n} $，当 $ n $ 不是2的幂时，幂图的自同构群为 $ \prod_{d \mid 2n} S_{\varphi(d)} \times (S_2 \wr S_n) $；当 $ n $ 是2的幂时，为 $ S_2 \times S_{2n-2} \times (S_2 \wr S_n) $。