[论文解读] The Gapeev-Kühn stochastic game driven by a spectrally positive Lévy process

Erik J. Baurdoux, Andreas E. Kyprianou+1 more|ArXiv.org|Apr 24, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文通过点过程波动理论和一个辅助最优停止问题，利用样本函数求解了由非负 Levy 过程驱动的永续可转换债券的随机博弈，建立了包含四个参数区域的完整解，并刻画了连续匹配与光滑匹配。关键贡献在于通过样本函数严格识别了纳什均衡，并给出了无界变体情形下光滑粘贴的显式条件。

ABSTRACT

In Gapeev and Kühn (2005), the stochastic game corresponding to perpetual convertible bonds was considered when driven by a Brownian motion and a compound Poisson process with exponential jumps. We consider the same stochastic game but driven by a spectrally positive Lévy process. We establish a complete solution to the game indicating four principle parameter regimes as well as characterizing the occurence of continuous and smooth fit. In Gapeev and Kühn (2005), the method of proof was mainly based on solving a free boundary value problem. In this paper, we instead use fluctuation theory and an auxiliary optimal stopping problem to find a solution to the game.

研究动机与目标

• 将 Gapeev–Kühn 随机博弈的解从布朗运动和复合泊松过程推广至非负 Levy 过程。
• 刻画在一般 Levy 动力学下纳什均衡（随机鞍点）的存在性与结构。
• 确定价值函数中连续匹配与光滑匹配发生的条件，特别是在无界变体情形下。
• 建立参数区域的完整分类——有界变体与无界变体——其中博弈存在解。
• 提出一种基于波动理论和辅助最优停止问题的新证明策略，取代此前使用的自由边界方法。

提出的方法

• 作者使用与非负 Levy 过程相关的样本函数 $ W^{(p)} $ 和 $ Z^{(p)} $ 表达波动恒等式并推导价值函数。
• 引入一个辅助最优停止问题以分析博弈的价值函数，并推导光滑匹配与连续匹配的条件。
• 通过光滑粘贴原理构建解，要求收益函数在阈值 $ c $ 处的导数连续。
• 推导了一个涉及 Lévy 测度 $ \Pi $、Laplace 指数 $ \psi $ 和样本函数的积分方程，以确定最优阈值 $ c $。
• 通过分析函数 $ F(c) $ 的单调性与连续性，证明解的存在性与唯一性，该函数将阈值映射至必须等于 $ K $ 的值。
• 分析区分了有界变体与无界变体路径，对 $ W^{(p)} $ 和 $ W^{(p)\prime} $ 在零点的条件有所不同。

实验结果

研究问题

• RQ1 在由非负 Levy 过程驱动的随机博弈中，纳什均衡存在的条件是什么？
• RQ2 参数 $ \alpha, \beta, q, K $ 以及 Lévy 特征如何影响博弈解的结构？
• RQ3 连续匹配在何时发生，光滑匹配在何时对最优性是必需的？
• RQ4 样本函数 $ W^{(p)} $ 和 $ Z^{(p)} $ 在刻画最优停止时间中起什么作用？
• RQ5 有界变体与无界变体 Levy 过程的解有何不同？

主要发现

• 在所有四个参数区域中，博弈均存在唯一的纳什均衡：有界变体且漂移为正、有界变体且漂移为零、无界变体且扩散项为正、无界变体且扩散项为零。
• 在无界变体情形下，光滑匹配成立当且仅当阈值 $ c $ 满足积分方程 (7.28)，该条件确保 $ G_c'(c-) = G_c'(c+) = 0 $。
• 在 (7.29) 中定义的函数 $ F(c) $ 是连续且严格递增的，从而保证了光滑匹配条件的唯一解。
• 极限 $ \lim_{c \downarrow -\infty} F(c) < K $ 且 $ \lim_{c \uparrow \log K} F(c) > K $，保证了解在 $ (-\infty, \log K) $ 内唯一存在。
• 条件 $ \psi(-1) < q $ 确保了期望收益的有限性，是价值函数存在的必要条件。
• 价值函数 $ V(x) $ 在 $ x \geq \log K $ 时为 $ e^x $，而在 $ x < \log K $ 时，以样本函数和 Lévy 测度上的积分为表达式。