[论文解读] The Gelfand-Kalinin-Fuks class and characteristic classes of transversely symplectic foliations

D. Kotschick, Shigeyuki Morita|ArXiv.org|Oct 18, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用 16

一句话总结

本文证明了形式哈密顿向量场的Gel'fand-Fuks上同调中，Gel'fand-Kalinin-Fuks（GKF）类在度数7、权8时可表示为乘积 $\eta \land \omega$，其中 $\eta$ 是一个度数5的叶上同调类，$\omega$ 是横截辛类。此外，本文还证明了通过Kontsevich方法构造的横截辛叶状的特征类是非平凡的，从而解决了关于GKF类几何意义的长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

In the early 1970's, Gelfand, Kalinin and Fuks found an exotic characteristic class of degree 7 in the Gelfand-Fuks cohomology of the Lie algebra of formal Hamiltonian vector fields on the plane. We prove that this cohomology class can be decomposed as a product of a certain leaf cohomology class of degree 5 and the transverse symplectic class. This is similar to the well known factorization of the Godbillon-Vey class for codimension n foliations. We also interpret the characteristic classes of transversely symplectic foliations introduced by Kontsevich in terms of the known classes and prove non-triviality for some of them.

研究动机与目标

• 在横截辛叶状的背景下解释度数7的奇异Gel'fand-Kalinin-Fuks（GKF）类。
• 确定GKF类作为此类叶状的特征类是否具有几何非平凡性。
• 完全计算Kontsevich的同态 $\Phi$ 至度数 $2n$，并证明由此产生的某些特征类的非平凡性。
• 探索当 $n \to \infty$ 时上同调的稳定极限及其与图上同调代数的关系。

提出的方法

• 利用Kontsevich的框架，作者将横截辛叶状的特征类与形式哈密顿向量场的Gel'fand-Fuks上同调联系起来。
• 他们将GKF类分解为 $\eta \land \omega$，其中 $\eta \in H^5_{GF}(\mathfrak{ham}_2^0, \mathfrak{sp}(2,\mathbb{R}))_{10}$ 是一个叶上同调类，$\omega$ 是横截辛类。
• 该构造涉及阿贝尔化映射 $\mathfrak{ham}_{2n}^1 \to S^3 H^{2n}_{\mathbb{R}}$，诱导出同态 $\Phi: H^*(S^3 H^{2n}_{\mathbb{R}})^{\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})} \to H^{*+2n}_{GF}(\mathfrak{ham}_{2n}, \mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R}))$。
• 作者计算了 $\mathfrak{ham}_{2n}^0$ 上同调的生成函数，直至权32，并将其与已知的图上同调代数 $\mathcal{A}(\phi)$ 的生成函数进行比较。
• 他们分析了稳定极限 $\Phi_\infty$ 的核与像，证明 $\mathrm{Im}\, \Phi_\infty \cong \mathcal{A}(\phi)$，并识别出将不稳定类上拉的障碍。

实验结果

研究问题

• RQ1 Gel'fand-Kalinin-Fuks类能否表示为叶上同调类与横截辛类的乘积？
• RQ2 通过Kontsevich方法构造的横截辛叶状的特征类在de Rham上同调中是否非平凡？
• RQ3 叶上同调类 $\eta$ 是否在 $n \to \infty$ 时的上同调稳定极限中保持存在？
• RQ4 在低度数下，$\mathfrak{ham}_{2n}^0$ 的上同调生成函数与图上同调代数 $\mathcal{A}(\phi)$ 的生成函数有何比较？

主要发现

• Gelfand-Kalinin-Fuks类被分解为 $\eta \land \omega$，其中 $\eta$ 是一个度数5的叶上同调类，$\omega$ 是横截辛类，提供了类似于Godbillon-Vey类分解的几何解释。
• 对 $\mathfrak{ham}_{2n}^0$ 上同调的生成函数在权32以内为 $1 + t^2 - t^{10} + t^{12} - t^{14} - t^{16} + t^{18} - 3t^{24} + 2t^{26} + \cdots$，其中 $-t^{10}$ 项对应于叶类 $\eta$。
• Kontsevich同态 $\Phi_\infty$ 在稳定极限下的像是同构于图上同调代数 $\mathcal{A}(\phi) \cong \mathbb{R}[\text{顶点定向三价图}]/(\text{AS, IHX})$，且 $\mathrm{Ker}\, \Phi_\infty$ 对应于由 $S^4 H^{2n}_{\mathbb{R}}$ 生成的理想中 $\mathrm{Sp}(2n,\mathbb{R})$-不变部分。
• 稳定生成函数 $c(t) = 1 + t^2 + 2t^4 + 3t^6 + 6t^8 + \cdots$ 在度数8以内与 $\mathcal{A}(\phi)$ 的已知生成函数一致，但在度数10处出现差异，表明在更高度数可能存在不一致。
• 本文表明，Kontsevich的某些特征类是非平凡的，从而解决了关于GKF类几何意义的长期悬而未决问题。
• 作者猜想在度数9、权14的Metoki类也可能分解为 $\eta' \land \omega$ 的形式，其中 $\eta'$ 是某个度数7的叶上同调类，尽管该猜想尚未得到证明。