[論文レビュー] The generalized Abel-Plana formula with applications to Bessel functions and Casimir effect

A. A. Saharian|ArXiv.org|Aug 8, 2007

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect参考文献 156被引用数 115

ひとこと要約

本稿は、ベッセル関数および虚数階の修正ベッセル関数の零点を含む複素級数にまで適用可能な一般化されたアベル＝プラナの公式（GAPF）を導入する。この手法により、球対称・円柱対称・加速境界におけるカシミール効果の真空期待値（VEV）をカットオフに依存しない形で評価可能となり、境界由来の寄与を絶対収束する積分に分離し、再正則化をボリューム項のみの手続きに簡略化する。

ABSTRACT

One of the most efficient methods for the evaluation of the vacuum expectation values for physical observables in the Casimir effect is based on using the Abel-Plana summation formula. This enables to derive the renormalized quantities in a manifestly cutoff independent way and to present them in the form of strongly convergent integrals. However, applications of the Abel-Plana formula, in its usual form, are restricted by simple geometries when the eigenmodes have a simple dependence on quantum numbers. The author generalized the Abel-Plana formula which essentially enlarges its application range. Based on this generalization, formulae have been obtained for various types of series over the zeros of combinations of Bessel functions and for integrals involving these functions. It has been shown that these results generalize the special cases existing in literature. Further, the derived summation formulae have been used to summarize series arising in the direct mode summation approach to the Casimir effect for spherically and cylindrically symmetric boundaries, for boundaries moving with uniform proper acceleration, and in various braneworld scenarios. This allows to extract from the vacuum expectation values of local physical observables the parts corresponding to the geometry without boundaries and to present the boundary-induced parts in terms of integrals strongly convergent for the points away from the boundaries. As a result, the renormalization procedure for these observables is reduced to the corresponding procedure for bulks without boundaries. The present paper reviews these results. We also aim to collect the results on vacuum expectation values for local physical observables such as the field square and the energy-momentum tensor in manifolds with boundaries for various bulk and boundary geometries.

研究の動機と目的

• 線形な量子数依存性を持つ単純な幾何形状を超えた、アベル＝プラナの公式の適用範囲を拡張すること。
• 虚数階のベッセル関数および修正ベッセル関数の組み合わせの零点に関する級数の和公式を導出すること。
• 境界付き時空におけるスカラー場の二乗やエネルギー運動量テンソルの真空期待値（VEV）を明示的にカットオフに依存しない形で計算可能にする。
• VEVをボリューム寄与と境界由来寄与に分解し、幾何依存寄与を分離することで再正則化を簡略化すること。
• 一般化された形式を、球対称・円柱対称境界、一様に加速する平板、ブレーンワールド系など多様な物理系に応用すること。

提案手法

• 虚数軸上に零点を持つ複雑な解析的構造を有する関数に適用可能な一般化されたアベル＝プラナの公式（GAPF）を導出する。
• 境界問題の固有周波数スペクトルに現れる $ Z_{i\tilde{\omega}}(u,v) $, $ \bar{K}_{iz}(\eta) $, および $ Z_{iz}(u,v) $ の零点に関する級数にGAPFを適用する。
• GAPFを用いてウィットマン関数をボリューム寄与と境界由来寄与に分解し、両者を絶対収束する積分として表現する。
• 得られた和公式を用いて、$ R^D \times S^1 $, 平行平板, 球殻, 円柱境界などの多様な幾何形状におけるモード和によるカシミールエネルギーおよび応力の計算に適用する。
• 形式を用いて境界領域における場の二乗およびエネルギー運動量テンソル（EMT）のVEVを計算し、発散するボリューム寄与と有限な境界由来寄与に分離する。
• 導出された級数公式を用いて、誘電体円筒内でのヘリカル運動などの放射問題にGAPFを適用し、固有モードの和を取る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベッセル関数の複素数的または虚数階の零点に関する級数を扱えるように、アベル＝プラナの公式をどのように一般化できるか？
• RQ2 一般化された公式を用いて、非自明な対称性を有するカシミール効果において、有限でカットオフに依存しないVEVの表現を抽出できるか？
• RQ3 VEVにおける境界由来寄与をどれほど明確に分離し、急速に収束する積分として表現できるか？
• RQ4 GAPFは、球対称・円柱対称・加速境界を持つ系において、再正則化をボリューム項のみのケースに還元することで、どのように容易にするか？
• RQ5 GAPFは、宇宙ひもやリンドル・ウェッジのような曲がったまたは非自明な時空（例：AdS）におけるブレーンワールドモデルや真空偏極にどのような意味を持つか？

主な発見

• 一般化されたアベル＝プラナの公式（GAPF）は、$ \bar{K}_{iz}(\eta) $ や $ Z_{iz}(u,v) $ のような虚数階のベッセル関数および修正ベッセル関数の零点に関する級数へ、古典的アベル＝プラナ法を効果的に拡張した。
• GAPFによりウィットマン関数がボリューム寄与と境界由来寄与に分解され、後者は絶対収束する積分として表現可能となり、VEVのカットオフに依存しない評価が可能になった。
• 球対称境界を持つグローバルモノポール背景におけるスカラー場に対して、真空エネルギー運動量テンソル（EMT）および場の二乗VEVがGAPFを用いて計算され、境界由来寄与は収束する積分として与えられた。
• リンドル真空内の一様に加速する二枚の平板に対して、場の二乗およびEMTのVEVは単一平板寄与と相互作用寄与に分離され、後者はGAPFを用いて収束する積分として導出された。
• 二つの平坦なブレーンを有するAdSのボリューム内におけるブレーンワールド系では、固有周波数がベッセル関数の組み合わせの零点として現れ、GAPFにより単一ブレーン寄与と相互作用寄与のVEVが抽出可能となった。
• この形式は、円柱および球対称幾何における電磁気的カシミール密度に対しても適用され、境界間領域におけるEMTおよび場の二乗の有限で再正則化された表現が得られ、スカラー場および電磁気的場の両方について明示的な公式が提示された。