[论文解读] The generalized Franchetta conjecture for some hyper-Kähler varieties

Lie Fu, Robert Laterveer+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文证明了若干类超凯勒流形的广义弗兰切蒂猜想，包括低度K3曲面的希尔伯特平方、四维立方体的线的法多族，以及莱恩–莱恩–索尔格–冯斯特拉滕八维超凯勒流形。证明了纤维上同调平凡的代数周期有理等价于零，为该猜想提供了有力证据，并推导出贝阿乌勒–福辛猜想与福辛猜想的推论。

ABSTRACT

The generalized Franchetta conjecture for hyper-Kähler varieties predicts that an algebraic cycle on the universal family of certain polarized hyper-Kähler varieties is fiberwise rationally equivalent to zero if and only if it vanishes in cohomology fiberwise. We establish Franchetta-type results for certain low (Hilbert) powers of low degree K3 surfaces, for the Beauville--Donagi family of Fano varieties of lines on cubic fourfolds and its relative square, and for $0$-cycles and codimension-$2$ cycles for the Lehn--Lehn--Sorger--van Straten family of hyper-Kähler eightfolds. We also draw many consequences in the direction of the Beauville--Voisin conjecture as well as Voisin's refinement involving coisotropic subvarieties. In the appendix, we establish a new relation among tautological cycles on the square of the Fano variety of lines of a smooth cubic fourfold and provide some applications.

研究动机与目标

• 验证特定类超凯勒流形的广义弗兰切蒂猜想，即在一般纤维上同调平凡的周期有理等价于零。
• 通过弗兰切蒂性质为贝阿乌勒–福辛猜想及其涉及余辛子簇的改进形式提供证据。
• 在四维立方体的线的法多族的 Chow 环中建立新的典型关系，尤其在自积中。
• 通过 Chow–凯伦特投影算子与小对角对应关系，探索 Chow 环的乘法结构。
• 将已知的典型周期结果推广至超凯勒流形的相对族，特别是在普遍族的背景下。

提出的方法

• 使用带有理系数的 Chow 群理论，以及在 Deligne–Mumford 群叠背景下的普遍周期概念。
• 应用弗兰切蒂性质的概念：若一个周期在非常一般纤维上同调平凡，则其在所有纤维上都有理平凡。
• 通过贝阿乌勒–福辛类与 Lefschetz 分解，利用大度分次将 Chow 群分解为多重分次部分。
• 利用已知的贝阿乌勒–福辛猜想案例及线的法多族 Chow 环中的典型关系。
• 应用普遍定义周期的概念，并通过广义弗兰切蒂猜想证明：同调平凡且普遍定义的周期有理平凡。
• 使用小对角对应关系及其与 Chow–凯伦特投影算子的相互作用，证明 Chow 群分解的乘法性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于低度完全交 K3 曲面的希尔伯特平方，广义弗兰切蒂猜想是否成立？
• RQ2 对于非常一般的四维立方体的线的法多族，Chow 群是否具有乘法的大度分次？
• RQ3 能否在四维立方体的线的普遍法多族的相对平方与立方上建立弗兰切蒂性质？
• RQ4 广义弗兰切蒂猜想是否蕴含超凯勒流形的贝阿乌勒–福辛猜想中仅涉及陈类与极化部分？
• RQ5 四维立方体的线的法多族的 Chow 群中存在哪些新的典型关系？它们如何影响乘法结构？

主要发现

• 广义弗兰切蒂猜想对度数为 2、4 或 6 的完全交 K3 曲面的希尔伯特平方成立。
• 对于非常一般的四维立方体的线的法多族，Chow 群具有乘法的大度分次，且包含关系 $\mathop{\rm CH}\nolimits^{1}(F)\cdot\mathop{\rm CH}\nolimits^{2}(F)_{(0)} \subseteq \mathop{\rm CH}\nolimits^{3}(F)_{(0)}$ 已被证明。
• 在 $\mathop{\rm CH}\nolimits^{5}(F\times F)$ 中建立了一个新的典型关系，其来源于与超平面截面相关的对应关系的自交。
• 已证明四维立方体的线的普遍法多族的相对平方具有弗兰切蒂性质，从而推出某些周期的有理平凡性。
• 广义弗兰切蒂猜想蕴含了超凯勒流形的贝阿乌勒–福辛猜想中仅涉及陈类与极化部分的内容。
• 四维立方体的线的法多族的 Chow 群的乘法结构现已被部分理解，但缺失的关系 (18) 仍为开放问题。