[论文解读] The geometric stability of Voronoi diagrams in normed spaces which are not uniformly convex

Daniel Reem|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2012

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 57被引用 5

一句话总结

本文通过在单位球上引入结构性条件（至多一个严格强凸部分和有限个非退化凸部分）以及在点集上施加一般位置条件，建立了在非一致凸的有限维范数空间（如 ℓ₁ 和 ℓ∞ 空间）中 Voronoi 图的几何稳定性。关键结果表明，点集的小扰动会导致 Voronoi 单元形状产生一致小的扰动，从而将连续性结果从一致凸空间推广至更广泛的范数空间类别。

ABSTRACT

The Voronoi diagram is a geometric object which is widely used in many areas. Recently it has been shown that under mild conditions Voronoi diagrams have a certain continuity property: small perturbations of the sites yield small perturbations in the shapes of the corresponding Voronoi cells. However, this result is based on the assumption that the ambient normed space is uniformly convex. Unfortunately, simple counterexamples show that if uniform convexity is removed, then instability can occur. Since Voronoi diagrams in normed spaces which are not uniformly convex do appear in theory and practice, e.g., in the plane with the Manhattan (ell_1) distance, it is natural to ask whether the stability property can be generalized to them, perhaps under additional assumptions. This paper shows that this is indeed the case assuming the unit sphere of the space has a certain (non-exotic) structure and the sites satisfy a certain "general position" condition related to it. The condition on the unit sphere is that it can be decomposed into at most one "rotund part" and at most finitely many non-degenerate convex parts. Along the way certain topological properties of Votonoi cells (e.g., that the induced bisectors are not "fat") are proved.

研究动机与目标

• 解决在 ℓ₁ 和 ℓ∞ 等非一致凸范数空间中 Voronoi 图缺乏几何稳定性理论的问题。
• 识别在缺乏一致凸性的情况下，点集的小扰动如何导致 Voronoi 单元形状发生小变化的条件。
• 将以往仅限于一致凸空间的连续性结果推广至更广泛的范数空间类别。
• 在这些空间中建立 Voronoi 单元与双曲线的拓扑性质，例如诱导双曲线的非肥大性。

提出的方法

• 在单位球上引入结构性条件：其必须分解为至多一个严格强凸部分和有限个非退化凸部分。
• 对点集施加一般位置条件，以确保其与单位球的几何结构实现横截相交。
• 运用度量几何与连续性论证，分析距离函数及其下水平集在扰动下的行为。
• 应用介值定理与拓扑论证，控制扰动在 Voronoi 单元中的传播。
• 利用 Voronoi 单元的并集覆盖整个空间，且边界包含于等距集合中的事实。
• 证明在给定条件下，原始配置与扰动配置中 Voronoi 单元边界的 Hausdorff 距离受点集扰动大小的控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 Voronoi 图的几何稳定性能否被推广至非一致凸范数空间（如 ℓ₁ 或 ℓ∞）？
• RQ2 范数空间单位球的何种结构性条件可确保点集的小扰动导致 Voronoi 单元形状发生小变化？
• RQ3 在非一致凸空间中，Voronoi 单元的拓扑性质（如诱导双曲线的性质）如何表现？
• RQ4 点集的一般位置条件在非一致凸设定中确保稳定性的作用是什么？
• RQ5 当环境空间缺乏一致凸性时，若满足额外的几何约束，Voronoi 图的连续性是否仍能保持？

主要发现

• 在单位球至多包含一个严格强凸部分且包含有限个非退化凸部分的条件下，有限维范数空间中的 Voronoi 图在点集的小扰动下具有几何稳定性。
• 此类空间中的诱导双曲线并非‘肥大’，即不包含全维邻域，这支持了单元边界稳定性的成立。
• 每个 Voronoi 单元的边界包含于其站点与其他所有站点并集的等距集合中，即 ∂(R_k) ⊆ {x : d(x,P_k) = d(x,∪_{j≠k} P_j)}。
• 在给定条件下，原始与扰动配置中 Voronoi 单元边界的 Hausdorff 距离受点集扰动大小的控制。
• 证明依赖于距离函数的连续性以及介值定理，以控制扰动在整个空间中的传播。
• 该结果将以往局限于一致凸空间的稳定性结果推广至更广泛的范数空间类别，这些空间在运动规划、VLSI 设计和最近邻搜索等应用中具有实际意义。