[論文レビュー] The Geometry of Bundle Gerbes

Danny Stevenson|ArXiv.org|Apr 18, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 18被引用数 70

ひとこと要約

本稿は、バンドル2-gerbeをバンドルgerbeの高次元一般化として導入し、バンドル2-gerbe接続および2曲率を定義する。任意のバンドル2-gerbeに対して、H⁴(M; ℤ) に自然に関連する標準的類を確立し、この類が自明であることとバンドル2-gerbeが安定的に自明であることとがちょうど一致することを証明する。また、安定2同型型のバンドル2-gerベの類と H⁴(M; ℤ) の間には双対性があると予想している。

ABSTRACT

This thesis reviews the theory of bundle gerbes and then examines the higher dimensional notion of a bundle 2-gerbe. The notion of a bundle 2-gerbe connection and 2-curving are introduced and it is shown that there is a class in $H^{4}(M;\Z)$ associated to any bundle 2-gerbe.

研究の動機と目的

• バンドルgerbeの高次元版として、バンドル2-gerbeの幾何学的理論を構築すること。
• バンドルgerbeの微分幾何的構造を拡張し、バンドル2-gerbe接続および2曲率を定義すること。
• 任意のバンドル2-gerbeに対して、H⁴(M; ℤ) に値をとる標準的特徴類を関連付け、その自明性を特徴づけること。
• 安定2同型型バンドル2-gerベの類と H⁴(M; ℤ) の間の予想的な双対性を確立すること。

提案手法

• 高次カテゴリカル構造をモデル化するために単体的技法および幾何的実現を用いる。
• バンドル2-gerbeを単体的バンドルgerbeおよび安定な準同型を用いて定義し、バンドルgerbeの概念を一般化する。
• 微分形式および曲率データを用いてバンドル2-gerbe接続および2曲率を導入する。
• Čech、Deligne、de Rhamのコホモロジーを用いて、バンドル2-gerbeに関連する特徴類を比較する。
• 分類写像を構成し、バンドル2-gerbeが層 C×_M によって束ねられた2-gerbeと関係づける。
• 安定バンドル2-gerbeの双対性およびテンソル積を用いて、その特徴類を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バンドルgerbeを次元4に一般化する適切な幾何学的・微分幾何的構造は何か？
• RQ2 バンドル2-gerbeに対して接続および曲率（2曲率）をどのように定義できるか？
• RQ3 バンドル2-gerbeに関連する H⁴(M; ℤ) に値をとる特徴類とは何か？ そしてそれは何を分類するか？
• RQ4 安定バンドル2-gerbeがいつ自明になるのか？ そしてそれは特徴類とどのように関係するか？
• RQ5 安定2同型型バンドル2-gerベの類と H⁴(M; ℤ) の間に双対性があるか？

主な発見

• バンドル2-gerbeは自然に H⁴(M; ℤ) に属する類をもたらし、これがその対象の主要な特徴的不変量である。
• 安定バンドル2-gerbeが自明であることと、それに関連する H⁴(M; ℤ) の類が消えることとは、ちょうど一致する。これは補題13.1で証明されている。
• 双対バンドル2-gerbe Q* の4次類は、Q の類の符号反転に等しく、Q₁ ⊗ Q₂ の類は Q₁ と Q₂ の類の和に等しい。
• 安定バンドル2-gerbeから2-gerbeを構成する過程において、H⁴(M; ℤ) に属する類がこの対応関係のもとで保存されることを示した。
• 本稿は、バンドル2-gerbeに関連するČech、Deligne、de Rhamの類を比較するフレームワークを提供し、それらがコホモロジー的意味で同値であることを示した。
• H⁴(M; ℤ) の任意の類が、ある安定バンドル2-gerbeの類として実際に得られることから、安定2同型型バンドル2-gerベの類と H⁴(M; ℤ) の間の双対性の予想は裏付けられている。