[論文レビュー] Bundle gerbes

Michael K. Murray|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 1994

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 226

ひとこと要約

この論文は、主 bundle が2次元の整数コホモロジーを幾何学的に実現するのと同様に、3次元の整数コホモロジーの幾何学的実現としてバンドルゲルベを導入する。すべてのバンドルゲルベがそのDixmier-Douady類を介してゲルベを生じることを確立し、バンドルゲルベ接続および曲率の理論を構築し、微分幾何学における高次ゲージ理論および特徴類を理解するための新しい枠組みを提供する。

ABSTRACT

Just as $\Cstar$ principal bundles provide a geometric realisation of two-dimensional integral cohomology; gerbes or sheaves of groupoids, provide a geometric realisation of three dimensional integral cohomology through their Dixmier-Douady class. I consider an alternative, related, geometric realisation of three dimensional cohomology called a bundle gerbe. Every bundle gerbe gives rise to a gerbe and most of the well-known examples examples of gerbes are bundle gerbes. I discuss the properties of bundle gerbes, in particular bundle gerbe connections and curvature and their associated Dixmier-Douady class.

研究の動機と目的

• 3次元整数コホモロジーの新しい幾何的実現をバンドルゲルベを用いて提供すること。
• Dixmier-Douady類を介してバンドルゲルベとゲルベの間の関係を確立すること。
• 微分幾何学の文脈においてバンドルゲルベ接続および曲率の理論を発展させること。
• 既知のゲルベの例を一般化し、それらが自然にバンドルゲルベであることを示すこと。

提案手法

• 論文は、多様体上のファイバー付き圏としてバンドルゲルベを構成し、ファイバー積上にバンドルに類似した構造を備える。
• バンドルゲルベ接続は、ゲルベ構造と整合性を持つバンドルゲルベ上の接続として定義される。
• 曲率は接続の曲率として定義され、de Rham コホモロジーにおけるDixmier-Douady類へ写像する。
• この理論が、バンドルゲルベ構成を介して、標準的なゲルベのDixmier-Douady類を再現することを示した。
• この枠組みを既知のゲルベの例に適用し、それらが自然にバンドルゲルベとして生じることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なゲルベ構成を超えて、3次元整数コホモロジーをどのように幾何学的に実現できるか？
• RQ2 Dixmier-Douady類の観点から、バンドルゲルベとゲルベの間の明確な関係は何か？
• RQ3 バンドルゲルベ上の接続および曲率は、微分コホモロジーにおける特徴類とどのように関係するか？
• RQ4 既知のゲルベの例は、自然にバンドルゲルベとして解釈できるか？

主な発見

• すべてのバンドルゲルベは、H^3(X, Z) に明確に定義されたDixmier-Douady類を持つゲルベを生じる。
• バンドルゲルベ接続およびその曲率は、de Rham コホモロジーにおけるDixmier-Douady類の微分的精錬を提供する。
• バンドルゲルベ接続の曲率は、de Rham同型の下でDixmier-Douady類の像を表す閉じた3形式である。
• 既知のゲルベの大多数の例が、バンドルゲルベとして実現可能であることが示され、その応用範囲の広さが裏付けられた。