[论文解读] The Geometry of Supersymmetric Quantum Mechanics

C.M. Hull|ArXiv.org|Oct 4, 1999

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 3被引用 57

一句话总结

本文为具有 N 个扩展超对称性的 1 维超对称量子力学建立了几何框架，表明目标空间几何由满足 Clifford 代数的 N−1 个复结构所支配。对于 N=3 和 N=4 的情形，分别通过 1-形式势和标量势给出了显式构造，推广了带 torsion 的超凯勒（HKT）几何，并允许非四元数的复结构。主要贡献在于：对于 N>4 的情形，通过基于势能的行动式与微分约束，统一表述了扩展超对称 sigma 模型。

ABSTRACT

One-dimensional sigma-models with N supersymmetries are considered. For conventional supersymmetries there must be N-1 complex structures satisfying a Clifford algebra and the constraints on the target space geometry can be formulated in terms of these. In the cases in which the complex structures are simultaneously integrable, a conventional extended superspace formulation is given, with the geometry determined by a 2-form potential for N=2, by a 1-form potential for N=3 and a scalar potential for N=4; for N>4 it is given by a scalar potential satisfying differential constraints. This gives explicit constructions of models with N=3 but not N=4 supersymmetry and of N=4 models in which the complex structures do not satisfy a quaternionic algebra. Generalisations with central terms in the superalgebra are also considered.

研究动机与目标

• 对一维 N-扩展超对称 sigma 模型的目标空间几何进行分类。
• 在标准四元数（HKT）情形之外，为 N=3 和 N=4 超对称性构造显式模型。
• 将扩展超空间表述推广至复结构不可积或不满足四元数代数的情形。
• 推导 N>4 超对称性下标量势的微分约束，推广已知结果。
• 包含超代数中含中心荷的模型，并分析其几何影响。

提出的方法

• 本文利用目标流形上 N−1 个复结构的 Clifford 代数来表征 N-扩展超对称 sigma 模型的几何。
• 对于 N=2，几何由 2-形式势描述；对于 N=3，当复结构可积时引入 1-形式势。
• 对于 N=4，使用 N=4 超空间中的标量势 L，其度量与 torsion 由 L 及复结构的导数导出。
• 作用量在扩展超空间中表述，通过 Grassmann 积分获得分量作用量，从而导出含 torsion 与度量项的有效作用量。
• 对于 N>4，方法涉及推导标量势 L 的微分约束，其解可表示为多重围线积分。
• 分析包括超代数中含中心荷的模型，推广了标准超对称代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维 N-扩展超对称 sigma 模型中，目标流形上会产生何种几何约束？
• RQ2 当三个复结构中仅有两个产生超对称性时，如何构造 N=3 超对称模型？
• RQ3 是否可以实现 N=4 超对称模型，而无需复结构满足四元数代数？
• RQ4 N>4 超对称性下标量势的微分约束为何？它们如何推广已知的 HKT 或 KT 几何？
• RQ5 超代数中的中心荷如何影响目标空间的几何与结构？

主要发现

• 对于具有同时可积复结构的 N=3 超对称性，几何在局部由 1-形式势描述，从而可显式构造此前未知的模型。
• 对于 N=4，当三个复结构可积但非四元数时，几何由满足特定微分约束的标量势决定，推广了 HKT 情形。
• 在三个复结构满足四元数代数的特殊情形下，几何退化为弱 HKT，与先前结果一致。
• 对于 N>4，标量势必须满足非平凡的微分约束，且已知 N=8 时存在非平凡例子，表明高超对称性模型存在丰富类。
• 扩展超空间表述允许通过单一标量势统一描述 N=4 模型，其度量与 torsion 由其导数及复结构导出。
• 本文确立了在类似 [5] 中条件下的 OSp(N|1) 超共形对称性是可能的，扩展了对称模型的类别。