[论文解读] The Global Jacquet-Langlands Correspondence via Tensor Products

Jun Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2026

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一句话总结

该论文通过 similitude theta 对应在全球 Hecke 代数的张量积框架下实现 GL(2) 的全球 Jacquet–Langlands 对应，统一了阿基米德与非阿基米德的置换。

ABSTRACT

We prove that the global Jacquet--Langlands correspondence ${ m JL}$ for ${ m GL}(2)$ can be realized via tensor products over Hecke algebras. Let $G$ be a non-split inner form of ${ m GL}(2)$ over a number field. Using the similitude theta correspondence, the space $L^2(D(\mathbb{A}) imes \mathbb{A}^{ imes})$ acquires the structure of a $G(\mathbb{A})$-$(G(\mathbb{A}) imes { m GL}(2,\mathbb{A}))$ bimodule such that $L^2(G(F)\backslash G(\mathbb{A}),χ)\otimes_{\mathcal{H}(G)}L^2(D(\mathbb{A}) imes \mathbb{A}^{ imes})~\cong~\oplus_{π\in {\mathcal{A}}(G,χ^{-1})}$ $π\otimes{ m JL}(π).$ This decomposition into irreducible representations of $G(\mathbb{A}) imes { m GL}(2,\mathbb{A})$ recovers the full global Jacquet-Langlands correspondence.

研究动机与目标

• 通过 Howe 对偶性和 theta 对应来quotient quaternion 内部形式的自同态表示以实现。
• 将全球 Jacquet–Langlands 转移作为全球 Hecke 代数上的张量积来实现。
• 在 similitude 设置中连接局部与全球 theta 对应，以恢复 JL 转移。
• 提供一个框架，在不使用迹公式的情况下对阿基米德和非阿基米德位置进行统一处理。

提出的方法

• 对称群内的双对偶对使用 Howe 对偶性和 theta 对应。
• 发展 similitude（诱导） Weil 表示并定义全球 Hecke 代数上的张量积。
• 证明 similitude 大 theta 提升可以表示为张量积：Θ(π) ≅ π^∨ ⊗_{ℋ(G)} Ω_𝔸。
• 建立一个全局自相关：L^2(G(F)ackslash G(𝔄), χ) ⊗_{ℋ(G)} L^2(D(𝔄)×𝔸^×) ≅ ⊕ π ⊗ JL(π)。
• 在所有地点证明 theta 提升的局部–全局兼容性以及 quaternionic 设置下局部提升的不可约性。

实验结果

研究问题

• RQ1 GL(2) 的全球 Jacquet–Langlands 对应是否可以通过全球 Hecke 代数上的张量积来实现？
• RQ2 similitude theta 对应如何在自同态谱中编码 Jacquet–Langlands 的转移？
• RQ3 局部 Howe 对偶性结果是否能在 quaternionic 双对偶对的全局设定中统一扩展？
• RQ4 在张量积框架中是否可以无迹公式地统一处理阿基米德与非阿基米德位置？

主要发现

• 存在一个规范同构，将全球 theta 提升表示为全球 Hecke 代数上的张量积。
• 全球 Jacquet–Langlands 转移源自张量积实现，并与每个地点的局部提升兼容。
• 该框架在 D^×(𝔄) × GL(2, 𝔄) 的设定中恢复自同态分解 L^2(G(F)ackslash G(𝔄), χ) ⊗_{ℋ(G)} L^2(D(𝔄)× 𝔸^×) ≅ ⊕ π ⊗ JL(π)。
• 该方法提供了一个统一、无迹公式的方法，通过 Hecke 模块张量积使阿基米德与非阿基米德分析保持一致。
• 张量积实现将 theta 保真性与 GL(2) 及其 quaternionic 内部形式的全球转移原则联系起来。