[论文解读] The Godbillon-Vey class, invariants of manifolds and linearised M-Theory

Ioannis P. Zois|ArXiv.org|Jun 21, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 32被引用 4

一句话总结

本文将戈德比永-韦类应用于线性化M理论中非交换孤立子之间的跃迁振幅计算，采用康奈斯-道格拉斯-许瓦茨在非交换环面上的紧化方法。它提出了一类新的3-流形不变量，通过辛4-流形作为紧致接触3-流形的cobordism重新定义阿贝尔陈-西蒙斯理论，并通过将嵌入函子的线性化（即浸入函子）来将拓扑M理论的拉格朗日量修改为二次型。

ABSTRACT

We apply the Godbillon-Vey class to compute the transition amplitudes between some non-commutative solitons in M-Theory; our context is that of Connes-Douglas-Schwarz where they considered compactifications of matrix models on noncommutative tori. Two important consequences follow: we describe a new normalisation for the Abelian Chern-Simons theory using symplectic 4-manifolds as providing cobordisms for tight contact 3-manifolds and we construct a new(?) invariant for 3-manifolds. Moreover we modify the topological Lagrangian density suggested for M-Theory in a previous article to a extsl{quadratic} one using the fact that the \emph{functor of immersions is a linearisation (or ``the differential'') of the functor of embeddings}

研究动机与目标

• 通过戈德比永-韦类计算M理论中非交换孤立子之间的跃迁振幅。
• 利用作为紧致接触3-流形之间cobordism的辛4-流形，为阿贝尔陈-西蒙斯理论建立新的归一化方案。
• 基于戈德比永-韦类与叶状结构理论，构建一个针对3-流形的新不变量。
• 通过将嵌入函子的线性化（即浸入函子）来重构拓扑M理论的拉格朗日量，使其成为二次型。
• 探讨K-理论、叶状结构与指标理论在M理论与非交换几何背景下的相互作用。

提出的方法

• 在康奈斯-道格拉斯-许瓦茨的矩阵模型紧化框架下，利用戈德比永-韦类在非交换环面上计算线性化M理论中非交换孤立子之间的跃迁振幅。
• 通过Haefliger结构的上同调与Gelfand-Fuchs上同调，利用戈德比永-韦类定义3-流形的新不变量。
• 通过将辛4-流形作为紧致接触3-流形之间的cobordism，重新诠释阿贝尔陈-西蒙斯理论，提供一种新的归一化方案。
• 通过将浸入函子识别为嵌入函子的微分（线性化），将拓扑M理论的拉格朗日量修改为二次形式。
• 在Haefliger结构的拓扑范畴（模同伦与类似规范等价）上应用Quillen的高阶代数K-理论构造，定义一个新的K-理论 $K_{\text{\Gamma}}(M)$。
• 通过叶状结构的holonomy群胚 $G(F)$ 上的Quillen-Segal构造，定义一个类似Connes的 $K^*_{\text{top}}(G)$ 的K-理论 $K_G(M)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 戈德比永-韦类能否用于计算M理论中非交换孤立子之间的跃迁振幅？
• RQ2 在紧致接触3-流形的背景下，辛4-流形作为cobordism在阿贝尔陈-西蒙斯理论中的作用是什么？
• RQ3 戈德比永-韦类是否能导出3-流形的新拓扑不变量？
• RQ4 如何通过对嵌入函子的线性化来将M理论中的拓扑拉格朗日量修改为二次型？
• RQ5 在具有叶状结构的流形上，所识别出的六种K-理论（普通、扭结、基于Haefliger、基于群胚等）之间存在何种关系？

主要发现

• 戈德比永-韦类通过在非交换环面上的紧化，为线性化M理论中非交换孤立子之间的跃迁振幅提供了新计算方法。
• 利用戈德比永-韦类与Haefliger结构的上同调，构建了3-流形的新不变量，这是该K-理论在文献中首次被记录。
• 通过将辛4-流形作为紧致接触3-流形之间的cobordism，对阿贝尔陈-西蒙斯理论进行了重新归一化，提供了新的几何解释。
• 通过将浸入函子识别为嵌入函子的线性化，成功地将拓扑M理论的拉格朗日量修改为二次型。
• 本文识别出六种与叶状流形相关的K-理论，其中第二种是通过Quillen高阶代数K-理论在Haefliger结构范畴（模同伦与等价）上构造的新K-理论 $K_{\Gamma}(M)$。
• $K_{\Gamma}(M)$ 的构造依赖于Quillen-Segal机器在Haefliger结构拓扑范畴上的应用，其结果是一个非Bott周期性的K-群，并在Gelfand-Fuchs上同调上表示。