[论文解读] The Gordon decompositions of the inertial currents of the Dirac electron correspond to a Foldy-Wouthuysen transformation

Ingo Kirsch, Lewis Ryder+1 more|ArXiv.org|Feb 16, 2001

Quantum and Classical Electrodynamics参考文献 21被引用 4

一句话总结

该论文表明，狄拉克电子惯性电流的戈登分解——特别是戈登自旋电流——精确对应于狄拉克波函数的福尔迪-伍特斯洪变换。通过证明戈登自旋电流是守恒的，并且等价于希尔格沃特定域-伍特斯洪自旋，作者建立了相对论量子力学中电流分解与将狄拉克哈密顿量对角化为牛顿-温格类型表示的幺正变换之间的直接联系。

ABSTRACT

We consider Dirac's free electron theory on the first quantized level. We decompose its canonical spin current á la Gordon and find a conserved ``Gordon spin'' current which turns out to be equivalent to the Hilgevoord-Wouthuysen spin. We can conclude therefrom that the Gordon-type decomposition mentioned above corresponds to a Foldy-Wouthuysen transformation which transforms the Dirac wave function from the conventional Dirac-Pauli to the Newton-Wigner representation.

研究动机与目标

• 建立狄拉克方程中惯性电流戈登分解与福尔迪-伍特斯洪变换之间严格的联系。
• 证明传导性（戈登）自旋电流是守恒的，并且等价于已确立的相对论自旋算符。
• 通过诺特定理和其分解，提供相对论自旋算符的场论推导。
• 通过福尔迪-伍特斯洪变换澄清自旋电流的物理诠释，解决长期存在的相对论自旋定义中的歧义。

提出的方法

• 对狄拉克拉格朗日量应用诺特定理，推导规范能量-动量张量和自旋流密度。
• 使用戈登分解将自旋流分解为传导部分和极化部分，将‘戈登自旋’识别为传导分量。
• 以泡利-卢班斯基矢量和希尔格沃特定域-伍特斯洪自旋算符为参考点，用于自旋守恒和协变性分析。
• 推导福尔迪-伍特斯洪变换作为将狄拉克哈密顿量对角化并把狄拉克-泡利表示映射到牛顿-温格表示的幺正变换。
• 通过证明戈登自旋电流与希尔格沃特定域-伍特斯洪自旋满足相同的守恒律和变换性质，建立两者等价性。
• 利用涉及列维-奇维塔符号、伽马矩阵和对偶场强张量的张量恒等式，验证自旋流表达式的代数等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 狄拉克电子自旋电流的戈登分解是否对应于波函数的已知幺正变换？
• RQ2 传导性（戈登）自旋电流是否守恒？若是，它是否与已确立的相对论自旋算符一致？
• RQ3 在场论电流的语境下，希尔格沃特定域-伍特斯洪自旋算符与居尔塞-赖德相对论自旋算符之间有何关系？
• RQ4 福尔迪-伍特斯洪变换与惯性电流分解之间存在何种精确的数学与物理对应关系？
• RQ5 是否能直接从诺特电流形式主义推导出守恒自旋电流，而无需依赖辅助场条件？

主要发现

• 戈登分解自旋流的传导部分——称为‘戈登自旋’——是守恒的，满足连续性方程 $ D_i \tilde{S}^i = 0 $。
• 戈登自旋电流被证明在经典和量子力学意义上均等价于希尔格沃特定域-伍特斯洪自旋算符。
• 狄拉克电流分解为传导与极化部分，精确对应于狄拉克波函数的福尔迪-伍特斯洪变换。
• 福尔迪-伍特斯洪变换将狄拉克-泡利表示映射到牛顿-温格表示，其中自旋为对角化，波函数描述局域态。
• 通过戈登方法导出的自旋流与通过泡利-卢班斯基矢量定义的相对论自旋算符一致，证实与庞加莱群表示理论的一致性。
• 通过涉及 $ \tilde{W}^{\beta\beta} $、$ \tilde{W}^{\beta\beta\beta} $ 和对偶场强的代数恒等式建立等价性，表明 $ X^{\beta\beta} = 2S^{\beta\beta}_{\text{op}} - \frac{1}{2}\sigma^{\beta\beta} $。