[论文解读] The graded Lie algebra of general relativity

Michael Reiterer, Eugene Trubowitz|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 8被引用 7

一句话总结

本文构建了一个分次李代数框架，其中真空爱因斯坦方程的解对应于满足 $[\gamma, \gamma] = 0$ 的1次元元素，且Bianchi恒等式自动满足。该文引入了一种规范固定算法，将线性化引力上链复形约化为对称双曲波动方程的解，通过秩-2复向量丛与共形黎曼-嘉当几何，实现了广义相对论的几何与代数重表述。

ABSTRACT

We construct a graded Lie algebra in which a solution to the vacuum Einstein equations is any element of degree 1 whose bracket with itself is zero. Each solution generates a cochain complex, whose first cohomology is linearized gravity about that solution. We gauge-fix to get a smaller cochain complex with the same cohomologies (deformation retraction). The new complex is much smaller, it consists of the solution spaces of linear homogeneous wave equations (symmetric hyperbolic equations). The algorithm that produces these gauges and wave equations is both for linearized gravity and the full Einstein equations. The gauge groupoid is the groupoid of rank 2 complex vector bundles.

研究动机与目标

• 使用分次李代数结构，为广义相对论提供一种新的代数表述。
• 证明真空爱因斯坦解恰好对应于实分次李代数 $\mathcal{E}$ 中满足 $[\gamma, \gamma] = 0$ 的1次元元素 $\gamma$。
• 从每个解构造一个上链复形，其一阶上同调描述线性化引力。
• 引入一种规范固定程序，将上链复形约化为线性齐次波动方程的解。
• 建立秩-2复向量丛与所得分次李代数之间的函子对应关系，从而实现引力的几何重表述。

提出的方法

• 构造实分次李代数 $\mathcal{E} = \mathcal{L}/\mathcal{I}$，其中 $\mathcal{L}$ 是秩-2复向量丛 $V$ 上张量代数的导子的商代数。
• 定义分次理想 $\mathcal{I}$，使得 $\mathcal{I}^2$ 对应于自旋-2表示，且 $\mathcal{I}^k$ 由 $\mathcal{I}^{k-1}$ 与 $V \otimes \overline{V}$ 的实元素的楔积生成。
• 通过形式指数映射，将分次李代数结构与爱因斯坦方程联系起来，条件为 $\gamma \in \mathcal{E}^1$ 时满足 $[\gamma, \gamma] = 0$。
• 实施一种规范固定算法，诱导从原始上链复形到更小复形的形变收缩，该小复形同构于对称双曲波动方程的解空间。
• 建立原始复形与约化复形上同调之间的典范同构，保持物理内容不变。
• 从非退化的 $\gamma \in \mathcal{E}^1$ 恢复共形黎曼-嘉当几何，包括符号为 $(-,+,+,+)$ 的共形度量，以及无挠率的仿射联络。

实验结果

研究问题

• RQ1 真空爱因斯坦方程能否在分次李代数中表述为条件 $[\gamma, \gamma] = 0$？
• RQ2 在此代数框架内，线性化爱因斯坦方程的上同调如何几何描述？
• RQ3 该表述背后的规范群概形结构为何？其与微分同胚不变性有何关系？
• RQ4 能否构造一种系统化的规范固定程序，以降低线性化引力复形的复杂性？
• RQ5 非退化的解 $\gamma \in \mathcal{E}^1$ 如何导出共形黎曼-嘉当几何？

主要发现

• 真空爱因斯坦方程的解正是满足 $[\gamma, \gamma] = 0$ 的1次元元素 $\gamma \in \mathcal{E}^1$，且分次雅可比恒等式确保Bianchi恒等式自动成立。
• 关于解 $\gamma$ 的线性化引力复形的上同调，同构于由 $\gamma$ 构造的关联上链复形的一阶上同调。
• 规范固定算法产生一个更小的上链复形，其上同调与原始复形同构，通过形变收缩实现，且该新复形由线性齐次对称双曲波动方程的解构成。
• 规范群概形是4维基流形上秩-2复向量丛的范畴，其态射为同构，且该构造在开子集上是函子性的。
• 对于非退化的 $\gamma \in \mathcal{E}^1$，映射 $h_\gamma$ 诱导出一个共形黎曼-嘉当几何，其度量符号为 $(-,+,+,+)$，且具有无挠率的仿射联络。
• 所诱导联络的黎曼曲率在迹上为零，确认当 $[\gamma, \gamma] = 0$ 时，$\gamma$ 满足真空爱因斯坦方程。