[论文解读] The $h$-principle and the equations of fluid dynamics

Camillo De Lellis, László Székelyhidi|Zurich Open Repository and Archive (University of Zurich)|Nov 11, 2011

Navier-Stokes equation solutions被引用 10

一句话总结

本文证明了微分拓扑中的拓扑原理——h-原理——适用于流体动力学中的不可压缩与可压缩欧拉方程，通过凸积分法构造出具有剧烈振荡的无穷多组弱解。主要贡献在于通过凸积分法与次解方法将格罗莫夫的h-原理适配于流体方程，揭示了即使初始数据为零，弱解也存在非唯一性。

ABSTRACT

In this note we survey some recent results for the Euler equations in compressible and incompressible fluid dynamics. The main point of all these theorems is the surprising fact that a suitable variant of Gromov's $h$-principle holds in several cases.

研究动机与目标

• 证明通常用于微分拓扑的h-原理可适用于流体动力学方程（如欧拉系统）。
• 通过凸积分法与次解，解释不可压缩欧拉方程弱解的非唯一性。
• 将上述结果推广至可压缩欧拉方程，并识别一般情况下的开放问题。
• 探讨弱解、湍流与消失粘性、能量耗散等选择原理之间的联系。
• 研究构造赫尔德连续弱解的可能性及其对统计湍流模型的启示。

提出的方法

• 通过将欧拉方程表述为微分包含，将格罗莫夫的h-原理适配于流体动力学。
• 利用凸积分法通过迭代添加高频振荡来构造弱解，使方程在分布意义下保持成立。
• 将次解定义为带有雷诺应力项的欧拉系统弱解，从而放松能量约束。
• 将该方法应用于不可压缩与可压缩欧拉方程，其中可压缩情形需在状态空间中引入广义本构集合。
• 利用可允许状态集合的凸包概念，确定次解的存在性。
• 引入从纳维-斯托克斯方程通过消失粘性趋向欧拉方程的恢复序列概念，可能需引入随机扰动。

实验结果

研究问题

• RQ1 h-原理能否应用于不可压缩欧拉方程，以解释弱解的非唯一性？
• RQ2 通过凸积分法构造的弱解的最优赫尔德正则性为何？其与奥恩斯格猜想的关系如何？
• RQ3 凸积分法能否被修改以生成欧拉方程的赫尔德连续弱解？
• RQ4 在欧拉系统中，对于剧烈初始数据的最大耗散率是多少？是否存在基于耗散的选择原理？
• RQ5 如何将凸积分法推广至允许密度与速度均发生剧烈振荡的可压缩欧拉方程？

主要发现

• 在任意维度 $ n \geq 2 $ 下，存在无穷多组紧支集的不可压缩欧拉方程弱解，其初始数据为零，且属于 $ L^\infty \cap L^2 $。
• 将凸积分法应用于次解，可构造出具有固定动能与压力的弱解，从而实现向可压缩情形的转移。
• 对于可压缩欧拉方程，允许密度与速度均发生剧烈振荡的一般情形仍为开放问题，尽管通过受限本构集合已取得进展。
• 临界赫尔德指数 $ \alpha = 1/3 $ 被猜想为能量守恒与非守恒的分界点，但该指数以上解的唯一性尚不明确。
• 在高余维情形下，通过凸积分法构造的解的正则性可提升至任意 $ \alpha < 1 $，暗示余维与正则性之间存在权衡。
• 从纳维-斯托克斯方程到欧拉方程的弱解恢复序列，可能需要引入随机扰动，因为确定性极限无法恢复此类解。