[论文解读] The Hamiltonian Approach and Phase Space Path Integration for Nonlinear Sigma Models with and without Fermions

Bas Peeters, P. van Nieuwenhuizen|ArXiv.org|Dec 16, 1993

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 3被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于哈密顿量的相空间路径积分方法，适用于含 fermions 与不含 fermions 的非线性 sigma 模型，证明在时间有序展开中，所有 Δt 阶项——不仅线性阶——都必须保留，才能正确计算传播子。关键结果是获得传播子在 Δt 阶的闭合表达式，该表达式可推广至更高阶，并揭示在超对称路径积分中，传播子可分解为经典项、超-范维克行列式与曲率项，当标准行列式被超行列式取代时，这种分解结构成立。

ABSTRACT

Instead of imposing the Schrödinger equation to obtain the configuration space propagator $\csprop$ for a quantum mechanical nonlinear sigma model, we directly evaluate the phase space propagator $\psprop$ by expanding the exponent and pulling all operators $\hat p$ to the right and $\hat x$ to the left. Contrary to the widespread belief that it is sufficient to keep only terms linear in $Δt$ in the expansion if one is only interested in the final result through order $Δt$, we find that all terms in the expansion must be retained. We solve the combinatorical problem of summing the infinite series in closed form through order $Δt$. Our results straightforwardly generalize to higher orders in $Δt$. We then include fermions for which we use coherent states in phase space. For supersymmetric $N{=}1$ and $N{=}2$ quantum mechanics, we find that if the super Van Vleck determinant replaces the original Van Vleck determinant the propagator factorizes into a classical part, this super determinant and the extra scalar curvature term which was first found by DeWitt for the purely bosonic case by imposing the Schrödinger equation. Applying our results to anomalies in $n$-dimensional quantum field theories, we note that the operator ordering in the corresponding quantum mechanical Hamiltonians is fixed in these cases. We present a formula for the path integral action, which corresponds one to one to any given covariant or noncovariant $\hat H$. We then evaluate these path integrals through two loop order, and reobtain the same propagators in all cases.

研究动机与目标

• 开发一种基于哈密顿量方法的非线性 sigma 模型系统性相空间路径积分形式化。
• 解决在非线性 sigma 模型路径积分量化中长期存在的算符排序与时间有序性模糊问题。
• 通过相干态与超对称性，将形式化扩展至包含 fermions 的情形。
• 阐明范维克行列式及其超对称推广在确定路径积分测度中的精确作用。
• 证明路径积分与 n 维量子场论中的薛定谔方程及异常结构的一致性。

提出的方法

• 作者将时间演化算符按 Δt 的幂展开，并系统地使用正规排序重排算符，将所有动量算符 p̂ 移至右侧，位置算符 x̂ 移至左侧。
• 他们求解了时间有序项在 Δt 阶的组合问题，得到了相空间传播子的闭合表达式。
• 对于 fermions，他们采用相空间相干态构造路径积分，确保适当的 Grassmann 积分与超哈密顿量结构。
• 他们引入一个超-范维克行列式，取代超对称情况下的标准行列式，使传播子呈现因子化形式。
• 该方法被用于推导出与任意给定协变或非协变哈密顿量 Ĥ 完全对应的路径积分作用量。
• 他们计算了两圈图阶的路径积分，并确认其与薛定谔方程及已知传播子的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何在非线性 sigma 模型中，将路径积分的时间有序展开截断至仅 Δt 的线性阶是错误的？
• RQ2 包含 fermions 如何改变相空间路径积分及范维克行列式的结构？
• RQ3 在超对称非线性 sigma 模型中，超-范维克行列式的精确作用是什么？
• RQ4 能否构造一个路径积分作用量，使其精确重现给定的哈密顿量，无论其是否协变？
• RQ5 哈密顿量中的算符排序如何影响 n 维量子场论中的异常结构？

主要发现

• 在路径积分的时间有序展开中，所有 Δt 阶项——即使超过线性阶——都必须保留，才能正确计算传播子。
• 通过 Δt 阶推导出相空间传播子的闭合表达式，解决了长期存在的组合难题。
• 在 N=1 与 N=2 超对称量子力学中，传播子可分解为经典部分、超-范维克行列式与标量曲率项。
• 在超对称模型的路径积分测度中，超-范维克行列式取代了标准范维克行列式。
• 从哈密顿量构造的路径积分作用量与原始算符排序完全一致，并在两圈图阶精确重现了正确的传播子。
• 在 n 维量子场论中，哈密顿量的算符排序由异常考虑确定，这一特性在路径积分形式化中得到体现。