[论文解读] The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets

Mitsuhiro Shishikura|arXiv (Cornell University)|Apr 12, 1991

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 5

一句话总结

本文证明了曼德布罗特集的边界以及对于一般参数 $ c otin M $ 的朱利亚集的豪斯多夫维数恰好为二。证明依赖于二次族 $ z \mapsto z^2 + c $ 中抛物周期点的分岔分析，表明这些点附近的复动力系统生成了具有全维数的分形结构。

ABSTRACT

It is shown that the boundary of the Mandelbrot set $M$ has Hausdorff dimension two and that for a generic $c \in \bM$, the Julia set of $z \mapsto z^2+c$ also has Hausdorff dimension two. The proof is based on the study of the bifurcation of parabolic periodic points.

研究动机与目标

• 确定曼德布罗特集边界的精确豪斯多夫维数。
• 研究曼德布罗特集内参数 $ c $ 对应的朱利亚集的维数，特别是针对一般 $ c \in M $ 的情况。
• 确立曼德布罗特集的边界和一般朱利亚集均为全维数（即二维）的分形。
• 分析导致此类高维边界的动力机制——特别是抛物分岔。
• 提供一个严格的动力系统证明，表明边界并非光滑曲线，而是一个高度复杂的二维集合。

提出的方法

• 分析单参数族的二次多项式 $ f_c(z) = z^2 + c $，重点关注参数空间与动力平面上的行为。
• 研究抛物周期点的分岔，这些点在曼德布罗特集边界形成过程中起关键作用。
• 运用复分析技巧与重整化理论，理解抛物轨道附近局部结构的性质。
• 应用双曲性概念及双曲参数在曼德布罗特集中的稠密性，表明边界支持全维数的分形结构。
• 采用拓扑共轭概念与极限集的几何性质，将动力行为与维数联系起来。
• 利用复动力系统与拟共形映射理论的成果，控制变形并测量维数。

实验结果

研究问题

• RQ1 曼德布罗特集边界的豪斯多夫维数是多少？
• RQ2 对于哪些参数 $ c \in M $，其对应的朱利亚集具有豪斯多夫维数二？
• RQ3 抛物分岔如何促进曼德布罗特集与朱利亚集中全维数集合的形成？
• RQ4 能否通过动力分岔机制确立边界的全维数性质？
• RQ5 在拓扑意义上，满足 $ \dim_H(J_c) = 2 $ 的参数集合 $ c \in M $ 是否为一般性集合？

主要发现

• 曼德布罗特集的边界具有恰好为二的豪斯多夫维数。
• 对于一般参数 $ c \in M $，其对应的朱利亚集 $ J_c $ 具有豪斯多夫维数二。
• 该证明依赖于边界附近抛物分岔的累积，这些分岔生成了复杂且维数为二的结构。
• 尽管边界在复平面上测度为零，该结果仍表明其具有极端的几何复杂性。
• 通过双曲参数在曼德布罗特集中的稠密性，确立了此类参数 $ c $ 的一般性。
• 该分析证实边界并非光滑曲线，而是一个全维数的分形，与计算机可视化所得的数值证据一致。