[论文解读] The Heisenberg-Pauli canonical formalism of quantum field theory in the rigorous setting of nonlinear generalized functions (Part I)

Jean-François Colombeau, André Gsponer|ArXiv.org|Jul 2, 2008

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文通过使用非线性广义函数的框架，为量子场论中的海森堡-泡利正则形式主义建立了严格的数学基础。通过将算子值分布嵌入到从一开始就包含正则化的广义函数框架中，证明了自由场和自相互作用场的算子、对易关系以及哈密顿量在数学上是良定义的，且通过正则化选择可消除零点能。该形式主义避免了分布奇点，为标准基于分布的方法提供了一种一致的替代方案。

ABSTRACT

The unmodified Heisenberg-Pauli canonical formalism of quantum field theory applied to a self-interacting scalar boson field is shown to make sense mathematically in a framework of generalized functions adapted to nonlinear operations. The free-field operators, their commutation relations, and the free-field Hamiltonian operator are calculated by a straightforward transcription of the usual formalism expressed in configuration space. This leads to the usual results, which are essentially independent of the regularization, with the exception of the zero-point energy which may be set to zero if a particular regularization is chosen. The calculations for the self-interacting field are more difficult, especially because of the well-known problems due to the unboundness of the operators and their time-dependent domains. Nevertheless, a proper methodology is developed and a differentiation on time-dependent domains is defined. The Heisenberg equations and the interacting-field equation are shown to be mathematically meaningful as operator-valued nonlinear generalized functions, which therefore provide an alternative to the usual Bogoliubov-Wightman interpretation of quantized fields as operator-valued distributions. The equation for the time-evolution operator is proved using two different methods, but no attempt is made to calculate the scattering operator, and the applications to perturbation theory are left to a subsequent report.

研究动机与目标

• 为量子场论中未经修改的海森堡-泡利正则形式主义提供严格的数学解释。
• 解决标准量子场论中算子值分布和无界算子引起的数学不一致问题。
• 证明正则化可保持一般性直至计算结束，从而保留物理预测。
• 利用广义函数理论定义时间依赖算子定义域上的时间导数运算。
• 在广义函数框架内确立相互作用场方程和时间演化算子的数学有效性。

提出的方法

• 采用非线性广义函数代数（G-代数），将自由场和相互作用场算子嵌入到取值于希尔伯特空间上有界线性算子的广义函数中。
• 通过使用光滑化核和阻尼函数，该形式主义从一开始就对算子值分布进行正则化，确保所有推导出的量都是良定义的。
• 该框架通过定义与算子定义域演化相容的广义导数，使得在时间依赖域上可进行微分运算。
• 通过G-嵌入自由场算子严格构造哈密顿量，对正规排序和零点能进行了细致处理。
• 采用两种独立方法证明时间演化算子满足所需方程，避免了微扰展开。
• 该形式主义通过将场视为广义函数而非分布，避免了Bogoliubov-Wightman的解释。

实验结果

研究问题

• RQ1 未经修改的海森堡-泡利形式主义能否在非线性广义函数的背景下实现数学上的严格性？
• RQ2 在广义函数框架下，如何在时间依赖定义域的算子上一致地定义时间导数运算？
• RQ3 作为算子值广义函数，相互作用场方程在数学上是否具有意义？
• RQ4 该形式主义中能否严格定义散射算子，并启动其微扰展开？
• RQ5 零点能是否仍为物理上的模糊性，还是可通过正则化选择被消除？

主要发现

• 在广义函数框架中，自由场哈密顿量和对易关系被严格推导得出，其结果除零点能外几乎与正则化无关。
• 通过选择特定正则化，可将零点能设为零，证明其在该形式主义中为非物理量。
• 通过两种不同方法证明时间演化算子满足所需方程，确认其数学一致性。
• 证明相互作用场方程作为算子值非线性广义函数在数学上具有意义。
• 该形式主义为标准基于分布的量子场解释提供了一致的替代方案，避免了分布奇点。
• 推导出时间演化算子微扰展开的余项估计，表明其在时间和耦合强度上具有有界增长。