[论文解读] The Hochschild cohomology ring of a Frobenius algebra with semisimple Nakayama automorphism is a Batalin-Vilkovisky algebra

Thierry Lambre, Guodong Zhou+1 more|arXiv (Cornell University)|May 21, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 36被引用 31

一句话总结

本文证明了具有半单 Nakayama 自同态的 Frobenius 代数的 Hochschild 上同调环配备有 Batalin-Vilkovisky (BV) 代数结构，推广了关于对称代数和扭曲 Calabi-Yau 代数的早期结果。通过利用 Nakayama 自同态的半单性，构建一个带有对偶性的 Tamarkin-Tsygan 微分学具，作者通过 duality 和 Connes 的 B-算子证明了 BV 算子 Δ 的存在性，从而将 BV 结构扩展到一大类自伴代数。

ABSTRACT

Analogous to a recent result of N. Kowalzig and U. Kr\\"{a}hmer for twisted Calabi-Yau algebras, we show that the Hochschild cohomology ring of a Frobenius algebra with semisimple Nakayama automorphism is a Batalin-Vilkovisky algebra, thus generalizing a result of T.Tradler for finite dimensional symmetric algebras. We give a criterion to determine when a Frobenius algebra given by quiver with relations has semisimple Nakayama automorphism and apply it to some known classes of tame Frobenius algebras. We also provide ample examples including quantum complete intersections, finite dimensional Hopf algebras defined over an algebraically closed field of characteristic zero and Koszul duals of Koszul Artin-Schelter regular algebras of dimension three.

研究动机与目标

• 将 Hochschild 上同调上的 BV 代数结构从对称代数推广到具有半单 Nakayama 自同态的 Frobenius 代数。
• 为通过 quiver 与关系定义的代数中的 Nakayama 自同态的半单性提供一个判别准则。
• 将已知的 Calabi-Yau 代数和对称代数中的 BV 结构扩展到更广泛的自伴代数类。
• 提供显式例子，包括量子完全交截和 Artin-Schelter 正则代数的 Koszul 对偶代数。

提出的方法

• 利用 Nakayama 自同态作为双模扭曲，在 Hochschild 上同调上构造一个 Tamarkin-Tsygan 微分学具。
• 通过利用 Nakayama 自同态的半单性，确保存在一个相容的对偶同构，从而定义一个带有对偶性的微分学具。
• 利用 Ginzburg 关系 ∂(z ∩ α) = ∂(z) ∪ α，关联上积与 cap 积结构。
• 应用恒等式 bβ_N + β_N b = 1 − T，关联 Hochschild 微分与与自同态相关的 β-算子。
• 定义 BV 算子 Δ = ∂ ∘ B ∘ ∂⁻¹，其中 B 是 Connes 算子，从而构造 BV 结构。
• 验证所得结构满足 BV 公理：Δ² = 0，且 Gerstenhaber 李括号由上积与 Δ 导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，Frobenius 代数的 Hochschild 上同调环会具有 Batalin-Vilkovisky 代数结构？
• RQ2 对于通过 quiver 与关系给出的 Frobenius 代数，如何组合地判定 Nakayama 自同态的半单性？
• RQ3 带有对偶性的 Tamarkin-Tsygan 微分学具如何统一对称代数与扭曲 Calabi-Yau 代数中的 BV 结构？
• RQ4 哪些代数类，如量子完全交截或 Hopf 代数，满足 Hochschild 上同调上 BV 结构的条件？
• RQ5 在此设定下，Hochschild 上同调与同调之间的对偶性如何与 BV 算子相互作用？

主要发现

• 任意具有半单 Nakayama 自同态的 Frobenius 代数的 Hochschild 上同调环都是 Batalin-Vilkovisky 代数。
• 为通过 quiver 与关系给出的 Frobenius 代数的 Nakayama 自同态的半单性提供了一个组合判别准则。
• 该构造推广了 Tradler 对对称代数的结果以及 Kowalzig-Krähmer 对扭曲 Calabi-Yau 代数的结果。
• 例子包括量子完全交截、特征为零的代数闭域上的有限维 Hopf 代数，以及三维 Koszul Artin-Schelter 正则代数的 Koszul 对偶代数。
• BV 算子 Δ 被实现为 Δ = ∂ ∘ B ∘ ∂⁻¹，其中 B 是 Connes 算子，∂ 是对偶同构。
• Ginzburg 关系 ∂(z ∩ α) = ∂(z) ∪ α 对于微分学具与 BV 结构的相容性至关重要。