[论文解读] The Holevo capacity of infinite dimensional channels

M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 5

一句话总结

本文引入了对无限约束量子信道的 Holevo 容量，尽管不存在最优 ensemble，仍证明了输出最优平均态的存在。建立了容量的极小极大表达式，证明了各种可加性性质的等价性，并表明 χ-函数是强严格凹且下半连续的，连续性结果表明容量在一般情况下是下半连续的，但在有限维情况下是连续的。

ABSTRACT

The notion of the Holevo capacity for arbitrarily constrained infinite dimensional quantum channels is introduced. It is shown that despite nonexistence of an optimal ensemble in this case it is possible to define the notion of the output optimal average state for such a channel. The characterization of the output optimal average state and a minimax expression for the Holevo capacity are obtained. This makes it possible to prove equivalence of several additivity properties for infinite dimensional quantum channels. The notion of the $\chi$-function for an infinite dimensional channel is considered, its strong concavity and lower semicontinuity are shown. The problem of continuity of the Holevo capacity is also discussed. It is shown that the Holevo capacity is continuous function of a channel in the finite dimensional case while in general it is only lower semicontinuous. This conclusion is confirmed by the example. The main result of this note is the statement that additivity of the Holevo capacity for all finite dimensional channels implies additivity of the Holevo capacity for all infinite dimensional channels with arbitrary constraints. The subadditivity of the $\chi$-function for two infinite dimensional channels with one of them noiseless or entanglement breaking is also proved.

研究动机与目标

• 为在任意约束下的无限维量子信道定义并表征 Holevo 容量。
• 通过引入输出最优平均态，解决无限维情形下不存在最优 ensemble 的问题。
• 在无限维信道中建立各种可加性性质之间的等价性。
• 研究无限维空间中 Holevo 容量的连续性性质以及 χ-函数的行为。

提出的方法

• 通过引入 Holevo 容量的极小极大表达式，以规避最优 ensemble 缺失的问题。
• 将输出最优平均态定义为表征无限维信道容量的关键对象。
• 证明了无限维信道中 χ-函数的强严格凹性和下半连续性。
• 分析 Holevo 容量的连续性，表明其在有限维情况下连续，但在一般情况下仅为下半连续。
• 使用对偶性和变分技术推导出容量的极小极大表示。
• 证明当一个信道为无噪声或破坏纠缠时，χ-函数具有次可加性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当不存在最优 ensemble 时，是否可以为无限维量子信道有意义地定义 Holevo 容量？
• RQ2 输出最优平均态在表征此类信道容量中起什么作用？
• RQ3 无限维信道的各种可加性性质之间有何关系？
• RQ4 Holevo 容量在无限维设置下是否连续，与有限维情况相比如何？
• RQ5 无限维量子信道中 χ-函数的结构性质是什么？

主要发现

• 尽管不存在最优 ensemble，无限维信道的 Holevo 容量仍具有极小极大表达式。
• 输出最优平均态存在并能表征容量，从而使得在受限设置下可定义信道的容量。
• 在所提出的框架下，所有无限维信道的可加性性质均等价。
• 无限维信道中 χ-函数是强严格凹且下半连续的。
• Holevo 容量在有限维情况下连续，但在一般情况下仅为下半连续，该结论通过反例得到验证。
• 当两个信道中有一个为无噪声或破坏纠缠时，χ-函数的次可加性成立，从而扩展了已知的有限维结果。