[论文解读] The integrality conjecture and the cohomology of preprojective stacks

Ben Davison|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 35

一句话总结

本文通过其 3-卡拉比-丘完成的上同调唐纳森-托马斯理论，建立了预投射代数表示堆栈的博雷尔-莫尔同调的纯性。通过证明 BPS 上同调的纯性并构造取值于混合霍奇模的 BPS 她层，本文证明了积分性定理、受限卡克多项式的正性，并计算了希尔伯特概形与特征堆栈的临界上同调。

ABSTRACT

We study the Borel-Moore homology of stacks of representations of preprojective algebras $Π_Q$, via the study of the DT theory of the undeformed 3-Calabi-Yau completion $Π_Q[x]$. Via a result on the supports of the BPS sheaves for $Π_Q[x]$-mod, we prove purity of the BPS cohomology for the stack of $Π_Q[x]$-modules, and define BPS sheaves for stacks of $Π_Q$-modules. These are mixed Hodge modules on the coarse moduli space of $Π_Q$-modules that control the Borel-Moore homology and geometric representation theory associated to these stacks. We show that the hypercohomology of these objects is pure, and thus that the Borel-Moore homology of stacks of $Π_Q$-modules is also pure. We transport the cohomological wall-crossing and integrality theorems from DT theory to the category of $Π_Q$-modules. Among these and other applications, we use our results to prove positivity of a number of "restricted" Kac polynomials, determine the critical cohomology of $\mathrm{Hilb}_n(\mathbb{A}^3)$, and the Borel-Moore homology of genus one character stacks, as well as various applications to the cohomological Hall algebras associated to Borel-Moore homology of stacks of preprojective algebras, including the PBW theorem, and torsion-freeness.

研究动机与目标

• 建立预投币代数上同调唐纳森-托马斯理论的积分性猜想。
• 通过 BPS 她层与 3-卡拉比-丘完成，证明预投币代数 $Π_Q$-模堆栈的博雷尔-莫尔同调的纯性。
• 在 $Π_Q$-模的粗模空间上定义并研究取值于混合霍奇模的 BPS 她层。
• 将上同调壁穿跃与积分性定理从 DT 理论转移到 $Π_Q$-模的范畴。
• 将这些结果应用于计算 $Π_n(Α^3)$ 的临界上同调，并确定上同调霍尔代数的挠自由性与 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理。

提出的方法

• 使用预投币代数 $Π_Q$ 的 3-卡拉比-丘完成 $Π_Q[x]$，通过上同调 DT 理论研究博雷尔-莫尔同调。
• 通过分析 $π_Q[x]\text{-mod}$ 中 BPS 她层的支集，证明 $Π_Q[x]$-模的 BPS 上同调的纯性。
• 在 $Π_Q$-模的粗模空间上构造 BPS 她层作为混合霍奇模，以控制其博雷尔-莫尔同调。
• 将 DT 理论中的上同调壁穿跃与积分性定理应用于 $Π_Q$-模的范畴。
• 通过维数约化，利用 3CY 完成将 $Π_Q$-模的上同调与 $Π_Q[x]$-模的上同调联系起来。
• 运用等变上同调与梳法代数结构，分析上同调霍尔代数中的挠自由性与 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 根据积分性猜想预测，$Π_Q$-模堆栈的博雷尔-莫尔同调是否具有纯性？
• RQ2 是否可以在 $Π_Q$-模的粗模空间上定义 BPS 她层为混合霍奇模？
• RQ3 $Π_n(Α^3)$ 的临界上同调是否在非临界度上消失，其结构如何？
• RQ4 与 $Π_Q$-模相关的上同调霍尔代数是否挠自由且满足 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理？
• RQ5 受限卡克多项式在 $Π_Q$-模上是否表现出系数的正性？

主要发现

• 由于所构造 BPS 她层的上同调是纯的，$Π_Q$-模堆栈的博雷尔-莫尔同调是纯的。
• BPS 她层被定义为 $Π_Q$-模粗模空间上的混合霍奇模，从而控制其博雷尔-莫尔同调。
• 通过将纯性与积分性定理应用于 3CY 完成，计算了 $Π_n(Α^3)$ 的临界上同调。
• 受限卡克多项式在 $Π_Q$-模上被证明具有系数正性，从而证实了一个猜想。
• 上同调霍尔代数 $τ_{Π_Q}$ 是挠自由的，且其到梳法代数的自然映射一般不是单射。
• 通过纯性与壁穿跃技术，确立了 $Π_Q$-模上同调霍尔代数的 Poincaré-Birkhoff-Witt 定理。