[论文解读] The interval turnpike property for adjoints

Timm Faulwasser, Lars Grüne+2 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2020

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 34被引用 6

一句话总结

本文在有限维与无限维非线性最优控制问题中建立了伴随变量的区间拐点性质，表明若状态与控制变量表现出拐点行为——即在较长时间段内保持在稳态解附近——则在一阶最优性条件连续性假设下，伴随变量也收敛至其对应的稳态伴随变量。该结果适用于具有有限维不稳定部分的可稳定系统，并在解析半群假设下进一步加强，通过边界控制的半线性热方程实例得到验证。

ABSTRACT

In this work we derive an interval turnpike result for adjoints of finite- and infinite-dimensional nonlinear optimal control problems under the assumption of an interval turnpike on states and controls. We consider stabilizable dynamics governed by a generator of a semigroup with finite-dimensional unstable part satisfying a spectral decomposition condition and show the desired turnpike property under continuity assumptions on the first-order optimality conditions. We further give stronger estimates for analytic semigroups and provide a numerical example with a boundary controlled semilinear heat equation to illustrate the results.

研究动机与目标

• 建立在状态与控制表现出区间拐点行为的最优控制问题中伴随变量的拐点性质。
• 将拐点理论扩展至由具有有限维不稳定部分的半群生成元控制的无限维系统中的伴随变量。
• 提供伴随收敛可由状态与控制收敛推出而无需小参数假设的条件。
• 在解析半群假设下加强估计，并通过边界控制的半线性热方程数值验证结果。
• 识别状态与控制区间拐点性质的充分条件，从而实现伴随拐点结果。

提出的方法

• 在巴拿赫空间框架下表述最优控制问题，采用强连续半群的生成元和有界控制算子。
• 推导涉及伴随变量的一阶必要最优性条件，并在最优性系统连续性假设下分析其收敛性。
• 假设状态与控制具有区间拐点行为，即在随时间 horizon T 增长的区间内保持接近稳态解。
• 在系统生成元的谱分解与可稳定化假设下，证明伴随变量在状态与控制接近平衡的区间内收敛至其稳态对应量。
• 在解析半群假设下加强伴随变量的收敛估计，从而提升其正则性与收敛速率。
• 通过二维边界控制的半线性热方程数值验证理论结果，展示状态、控制与伴随变量的拐点行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，状态与控制的拐点行为可推出非线性最优控制问题中对应伴随变量的拐点行为？
• RQ2 能否在不依赖初始条件或系统参数小量假设的前提下建立伴随拐点性质？
• RQ3 解析半群性质如何改善无限维最优控制问题中伴随变量的收敛估计？
• RQ4 在状态与控制接近平衡的时间区间内，伴随差值有界性的条件是什么？
• RQ5 如何在实践中验证状态与控制的区间拐点性质，特别是针对PDE约束的最优控制问题？

主要发现

• 在第一阶最优性条件连续性假设下，伴随变量在状态与控制保持接近平衡的区间内收敛至其稳态对应量。
• 对于具有有限维不稳定部分并具备谱分解的系统，若满足可稳定化与连续性假设，则伴随拐点性质成立。
• 在解析半群假设下，伴随变量在 L2(Ω) 与 H1(Ω) 范数下均获得更强的收敛估计。
• 数值结果证实了在二维区域上边界控制的半线性热方程中状态、控制与伴随变量的拐点性质。
• 在平衡代价消失的特定例子中，伴随差值的有界性条件已得到验证，但本文指出该假设具有限制性。
• 理论框架允许在适当可适性或经典解条件下的无界控制算子（如边界控制问题）中进行推广。