[论文解读] The inverse along an element in rings with an involution, Banach algebras and $C^*$-algebras

Julio Benítez, Enrico Boasso|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2015

Matrix Theory and Algorithms参考文献 8被引用 10

一句话总结

本文研究了具有对合的环、巴拿赫代数和C*-代数中的元素逆，将广义逆（如Moore-Penrose逆、Drazin逆和群逆）统一在一个框架下。它建立了连续性、通过拉普拉斯变换的积分表示以及收敛的谱条件，表明当谱位于右半平面时，元素逆可表示为指数映射的积分。

ABSTRACT

Properties of the inverse along an element in rings with an involution, Banach algebras and $C^*$-alegbras will be studied unifying known expressions concerning generalized inverses.

研究动机与目标

• 将广义逆——Moore-Penrose逆、Drazin逆和群逆——统一在元素逆的概念之下。
• 将元素逆的理论扩展到具有对合的环、巴拿赫代数和C*-代数。
• 建立元素逆存在且表现良好的谱条件与连续性条件。
• 将元素逆与加权Moore-Penrose逆联系起来，并阐明其在算子代数中的结构。
• 在巴拿赫代数中，利用拉普拉斯型积分推导元素逆的积分表示。

提出的方法

• 使用元素逆的定义：若存在唯一的 $ b = a^{ op d} $，使得 $ bab = b $，$ b\mathcal{R} = d\mathcal{R} $，且 $ \mathcal{R}b = \mathcal{R}d $，则称元素 $ a $ 沿 $ d $ 可逆。
• 在巴拿赫代数中应用谱理论，特别是条件 $ \sigma(da) \setminus \{0\} \subset \{ z \in \mathbb{C} : \operatorname{Re}(z) > 0 \} $，以推导积分表示。
• 使用拉普拉斯变换恒等式 $ x^{-1} = \int_0^\infty \exp(-tx) \, dt $，适用于谱位于开右半平面的元素。
• 在子代数 $ p\mathcal{B}p $ 中使用类似矩阵的分块表示，对 $ da $ 进行分解并分析其谱。
• 通过幂等元 $ p = dd^{-} $ 的分解，将问题约化为在角子代数中的可逆性。
• 推导出 $ b^{\parallel e} - a^{\parallel d} $ 的扰动公式，涉及 $ a, b, d, e $ 及其内逆的差异，从而实现连续性分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有对合的环中，如何表征元素逆？对合诱导了何种对称性？
• RQ2 在何种谱条件下，元素逆可通过拉普拉斯变换获得积分表示？
• RQ3 在*-代数中，元素逆与加权Moore-Penrose逆之间存在何种关系？
• RQ4 在巴拿赫代数中，元素逆在序列的范数收敛下如何表现？
• RQ5 在巴拿赫代数中，何种条件可保证映射 $ (a,d) \mapsto a^{\parallel d} $ 的连续性？

主要发现

• 元素逆 $ a^{\parallel d} $ 存在当且仅当 $ d $ 是正则的，且 $ a $ 与 $ b = a^{\parallel d} $ 的像理想与核理想一致。
• 在巴拿赫代数中，若 $ \sigma(da) \setminus \{0\} \subset \{ z \in \mathbb{C} : \operatorname{Re}(z) > 0 \} $，则 $ a^{\parallel d} = \int_0^\infty \exp(-tda) \, dt $，从而提供积分表示。
• 元素逆满足 $ (a^{\parallel d})^* = (a^*)^{\parallel d^*} $，表明其与*-代数中的对合相容。
• 在巴拿赫代数设定下，元素逆是连续的：若 $ a_n \to a $，$ d_n \to d $，且 $ a_n^{\parallel d_n} $ 有界且其内逆一致有界，则 $ a_n^{\parallel d_n} \to a^{\parallel d} $。
• 元素逆推广了Moore-Penrose逆：$ a $ 是Moore-Penrose可逆当且仅当它沿 $ a^* $ 可逆，Drazin逆与群逆亦同理。
• 扰动公式 $ b^{\parallel e} - a^{\parallel d} = b^{\parallel e}e^{-}(e-d)(1-aa^{\parallel d}) + (1-b^{\parallel e}b)(e-d)d^{-}a^{\parallel d} + b^{\parallel e}(a-b)a^{\parallel d} $ 可用于稳定性与收敛性分析。