[论文解读] The Jones vector as a spinor and its representation on the Poincaré sphere
本文证明了单色电磁平面波的琼斯矢量在数学上等价于一个 SU(2) 自旋态，其几何意义同时表征了偏振态（作为庞加莱球面上的一点）和波的相位（作为该球面的切向量）。关键贡献在于提出了一种统一的自旋态形式，通过切向量自然地引入相位，从而实现了对潘查拉特南相位以及光学滤波器作用的几何解释，即在庞加莱球面上对点和切向量的变换。
It is shown that the two complex Cartesian components of the electric field of a monochromatic electromagnetic plane wave, with a temporal and spatial dependence of the form ${ m e}^{{ m i} (kz - ωt)}$, form a SU(2) spinor that corresponds to a tangent vector to the Poincaré sphere representing the state of polarization and phase of the wave. The geometrical representation on the Poincaré sphere of the effect of some optical filters is reviewed. It is also shown that in the case of a partially polarized beam, the coherency matrix defines two diametrically opposite points of the Poincaré sphere.
研究动机与目标
- 建立琼斯矢量与偏振光学中 SU(2) 自旋态形式之间的深刻联系。
- 证明琼斯矢量对应于庞加莱球面上的一个切向量，编码了波的相位。
- 通过庞加莱球面上的自旋态变换，对光学滤波器（如相位延迟器和衰减器）的作用提供几何解释。
- 通过展示相干性矩阵在庞加莱球面上定义了两个对径点，将该形式推广至部分偏振光。
- 利用自旋态技术统一描述偏振和相位，避免依赖球面三角学。
提出的方法
- 将琼斯矢量识别为一个两分量的 SU(2) 自旋态，通过包含振幅、椭圆度和相位参数的变换，将电场分量表示为自旋态分量的形式。
- 利用自旋态分量导出的标准斯托克斯参数，将偏振态映射到庞加莱球面上的点。
- 波的相位通过自旋态变换的实部导出，表示为庞加莱球面上该偏振点处的切向量。
- 光学滤波器（相位延迟器和衰减器）被建模为作用于自旋态的 SU(2) 变换：相位延迟器表现为旋转，衰减器通过泡利矩阵的指数映射表示为洛伦兹提升。
- 对于部分偏振光束，相干性矩阵在自旋态基下表示，表明其在庞加莱球面上定义了两个对径的本征自旋态，对应于主偏振态。
- 通过酉变换（相位延迟器）或非酉变换（衰减器）对相干性矩阵进行变换，分析滤波器对部分偏振光的影响，相应的斯托克斯参数随之变换。
实验结果
研究问题
- RQ1琼斯矢量如何被解释为 SU(2) 群中的自旋态，这种赋值为单色电磁波的偏振和相位赋予了何种几何意义？
- RQ2由琼斯矢量导出的庞加莱球面切向量如何表征波的相位，这与潘查拉特南相位的定义有何关联？
- RQ3相位延迟器在庞加莱球面上的几何作用是什么，其在自旋态形式中如何表示？
- RQ4衰减器如何影响部分偏振光束的偏振态，这种变换如何通过相干性矩阵和自旋态形式描述？
- RQ5为何部分偏振光束对应于庞加莱球面上两个对径点，这与相干性矩阵的本征自旋态有何关联？
主要发现
- 琼斯矢量在数学上等价于一个 SU(2) 自旋态，统一表征了振幅、偏振态和相位。
- 偏振态对应于庞加莱球面上的一点，而相位则编码在该点处球面的切向量中。
- 相位延迟器在庞加莱球面上表现为旋转，其自旋态变换对应于 SU(2) 的自旋-1/2 表示。
- 衰减器在庞加莱球面上诱导一个共形变换，等价于 x 方向的洛伦兹提升，如公式 (40) 所示的变换后斯托克斯参数所示。
- 对于部分偏振光，相干性矩阵在庞加莱球面上定义了两个对径点，对应于矩阵的本征自旋态，除非为完全非偏振光（此时本征自旋态未定义）。
- 光学滤波器对部分偏振光束的作用通过 SU(2) 操作对相干性矩阵进行变换来描述，所得偏振态由原始对径点的旋转或提升得到。
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