[论文解读] The Jordan formulation of Quantum Mechanics: a review

Paul Townsend|arXiv (Cornell University)|Dec 29, 2016

Quantum Information and Cryptography参考文献 2被引用 11

一句话总结

本文回顧了量子力學的約旦代數表述，提出一種非結合代數結構，其中約旦積取代了標準算子積。研究表明，在此框架下，時間演化由結合子（associator）所控制，類比於密度矩陣形式中的換位子（commutator），哈密頓量形式為 $ H = i[x,y] + \lambda\mathbb{I} $，其中 $ x,y $ 為跡為零的厄米矩陣，從而為標準量子力學提供了一種「平方根」視角，並可能與超對稱性相關。

ABSTRACT

This is a transcription of a conference proceedings from 1985. It reviews the Jordan algebra formulation of quantum mechanics. A possible novelty is the discussion of time evolution; the associator takes over the role of $i$ times the commutator in the standard density matrix formulation, and for the Jordan algebra of complex Hermitian matrices this implies a Hamiltonian of the form $H= i[x,y] + λ\mathbb{I}$ for traceless Hermitian $x,y$ and real number $λ$. Other possibilities for time evolution in the Jordan formulation are briefly considered.

研究动机与目标

• 以約旦代數重構量子力學，強調其代數結構與物理詮釋。
• 探討約旦表述中的時間演化，與標準密度矩陣方法進行對比。
• 研究約旦表述是否能提供比標準量子力學更深層或更基本的描述，特別是透過其非結合結構。
• 檢驗導子（derivations）與結合子在生成線性時間演化方程中的角色。

提出的方法

• 將量子觀測量形式化為具有單位元的正式實值、可交換約旦代數，其約旦積定義為 $ a \circ b = \frac{1}{2}(ab + ba) $。
• 利用約旦恆等式 $ a \circ (a^2 \circ b) = a^2 \circ (a \circ b) $ 確保冪結合性，進而容許對觀測量的泛函定義。
• 將密度矩陣表示為正定元素 $ \rho $，且滿足 $ \mathrm{tr}(\rho) = 1 $，並透過 $ \langle a \rangle = \mathrm{tr}(a \circ \rho) $ 計算期望值。
• 將時間演化推導為 $ \dot{\rho} = D(\rho) $，其中 $ D $ 為約旦代數的導子。
• 將導子表達為 $ D_{x,y} = [L_x, L_y] $，其中 $ L_x $ 為對跡為零元素 $ x $ 的左乘算子，進而導出 $ \dot{\rho} = [x, \rho, y] $，即結合子。
• 當 $ H = i[x,y] + \lambda\mathbb{I} $ 時，確立與標準薛丁格方程的等價性，顯示約旦表述為標準量子力學的「平方根」形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以約旦代數取代 C*-代數或希爾伯特空間，重新表述量子力學？
• RQ2 在約旦表述中，結合子在時間演化中的角色為何？它與標準表述中換位子的關係為何？
• RQ3 約旦表述能否描述將純態映射至混合態的時間演化？若能，其機制為何？
• RQ4 例外約旦代數 $ H_3^\mathbb{O} $ 對於量子理論有何含義，特別是在缺乏希爾伯特空間表述的情境下？
• RQ5 約旦代數的導子如何生成正定域的自同構群？這對線性時間演化施加了何種約束？

主要发现

• 結合子 $ [x, \rho, y] = x \circ (\rho \circ y) - (x \circ \rho) \circ y $ 在約旦表述中的角色，類比於標準密度矩陣形式中的換位子。
• 對於複數厄米矩陣，當 $ H = i[x,y] + \lambda\mathbb{I} $ 時，時間演化方程 $ \dot{\rho} = [x, \rho, y] $ 複現了標準的薛丁格方程，確立了與標準表述的等價性。
• 約旦代數的所有導子均可表達為 $ D_{x,y} = [L_x, L_y] $，其中 $ L_x $ 為對跡為零元素 $ x $ 的左乘算子，此結構確保了雅可比恆等式成立。
• 約旦代數的正定域 $ C(J) $ 為一個齊次錐（homogeneous cone），其自同構群由導子與乘法算子生成，但僅導子能保持密度矩陣的跡條件。
• 將純態映射至混合態的廣義時間演化，除非為群作用，否則無法同時保持線性與跡不變，暗示此類演化形成半群而非群，符合熱力學第二定律。
• 基於八元數的例外約旦代數 $ H_3^\mathbb{O} $ 無法以標準乘法實現為矩陣，其不滿足葛林尼恆等式（Glennie identity）進一步確認其非結合與例外性質，因而無法建立希爾伯特空間表述。