[论文解读] The Kuratowski convergence of medial axes

Maciej P. Denkowski|arXiv (Cornell University)|Feb 17, 2016

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的连续形变框架，用于在 ℝⁿ 中对闭合且可定义的集合的中轴线进行处理，采用 Kuratowski 收敛性，无需正则性假设。其主要贡献是一个稳健的收敛结果，使得能够计算中轴线的切锥，该方法在奇点理论中有直接应用。

ABSTRACT

In this paper we study the behaviour of medial axes (skeletons) of closed, definable (in some o-minimal structure) sets in ${\Rz}^n$ under deformations. We apply a new approach to the deformation process. Instead of seeing it as a `jump' from the initial to the final state, we perceive it as a continuous process, expressed using the Kuratowski convergence of sets (hence, unlike other authors, we do not require any regularity of the deformation). Our main result has already proved useful, as it was used to compute the tangent cone of the medial axis with application in singularity theory.

研究动机与目标

• 分析在不施加正则性条件的情况下，中轴线在连续形变下的行为。
• 基于 Kuratowski 集合收敛性，而非离散的“跳跃”方式，开发一种新的形变模型。
• 为在奇点理论中计算中轴线的切锥提供理论基础。

提出的方法

• 使用 Kuratowski 集合收敛性对形变过程进行建模，作为连续过程。
• 将该框架应用于 ℝⁿ 中 o-极小结构内的闭合可定义集合。
• 利用拓扑收敛性追踪中轴线的演化，无需光滑性假设。
• 利用 o-极小结构的性质，确保在形变下可定义集合的行为是可控的。
• 将中轴线表述为在 Kuratowski 收敛性下逼近集合的极限。
• 建立中轴线在形变下连续收敛的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无正则性约束的情况下，可定义集合的中轴线在连续形变下如何表现？
• RQ2 Kuratowski 收敛性是否可用于将中轴线演化建模为连续过程？
• RQ3 在该类形变下，中轴线的极限行为是什么？
• RQ4 如何利用该收敛框架计算中轴线的切锥？
• RQ5 该方法对奇点理论有何影响？

主要发现

• 即使在无正则性假设的情况下，中轴线也能通过 Kuratowski 收敛性实现连续收敛。
• 所提出的框架使得能够计算中轴线的切锥。
• 该方法为分析几何结构中的奇点提供了一个稳健的工具。
• 该结果适用于奇点理论，特别是在研究中轴线的局部几何时。
• 该方法可推广至非光滑形变，扩展到非正则情形。