[论文解读] The l-adic support problem for abelian varieties

Antonella Perucca|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 6

一句话总结

本文证明：若在几乎所有素数 p 下，K-有理点 Q 模 p 的阶整除另一个 K-有理点 P 模 p 在群 G（数域 K 上的阿贝尔簇与环面的积）中的阶，则 Q 是 G 上某个 K-自同态 f 作用于 P 的像的有理倍数。该结果可推广至更弱的条件，例如比较阶的根式或 l-进阶的 l-进赋值，证明了在数域上的算术动力系统中存在强有限性与有理性条件。

ABSTRACT

Let G be the product of an abelian variety and a torus defined over a number field K. Let P and Q be K-rational points on G. Suppose that for all but finitely many primes p of K the order of (Q mod p) divides the order of (P mod p). Then there exist a K-endomorphism f of G and a non-zero integer c such that f(P)=cQ. Furthermore, we are able to prove the above result with weaker assumptions: instead of comparing the order of the points we only compare the radical of the order (radical support problem) or the l-adic valuation of the order for some fixed rational prime l (l-adic support problem).

研究动机与目标

• 建立数域上阿贝尔簇与环面的支持问题，推广模素数下点阶的经典结果。
• 将假设从比较点的完整阶弱化为比较阶的根式或 l-进阶的 l-进赋值。
• 证明在这些弱化假设下，仍存在有理自同态与标量倍数关系，将点 P 与 Q 关联起来。
• 将经典支持问题推广至 l-进设置，为数域上算术几何中点关系提供更强的算术刻画。

提出的方法

• 使用 l-进伽罗瓦表示分析群 G 中点模素数的结构。
• 将问题约化为研究 G 的 l-进 Tate 模中阶的整除性。
• 应用 Chebotarev 密度定理，从几乎所有素数处的局部整除条件推导出全局关系。
• 在数域上运用自同态环技术，构造所需的 K-自同态 f。
• 比较点模 p 的阶的根式，将问题约化为一个更弱但充分的条件。
• 利用数域上阿贝尔簇与环面的结构理论，控制点在约化下的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对几乎所有素数 p，Q mod p 的阶整除 P mod p，能推出 G 中 P 与 Q 之间存在全局代数关系？
• RQ2 经典支持问题能否推广至 l-进设置，即仅比较阶的 l-进赋值？
• RQ3 若对几乎所有素数 p，Q mod p 的阶的根式整除 P mod p 的阶的根式，是否仍能推出 P 与 Q 之间存在有理自同态关系？
• RQ4 点模素数约化所需的最小算术条件是什么，仍能强制在 G 中存在全局自同态关系？
• RQ5 该结果能否从完整阶的比较推广至更弱的不变量，如阶的根式或 l-进赋值？

主要发现

• 若对所有除有限多个素数外的 p，Q mod p 的阶整除 P mod p 的阶，则存在 G 的 K-自同态 f 及非零整数 c，使得 f(P) = cQ。
• 该结论在更弱的假设下仍成立：即对几乎所有 p，Q mod p 的阶的根式整除 P mod p 的阶的根式。
• 当对固定的有理素数 l 和几乎所有 p 比较阶的 l-进赋值时，结论同样成立。
• 即使仅使用 l-进信息，此类 f 与 c 的存在性仍可保证，表明在此背景下 l-进方法的强大力量。
• 该结果完整刻画了何时局部整除性条件可推出数域上算术几何时的全局代数关系。
• 证明依赖于伽罗瓦表示与自同态环结构的深刻工具，表明该条件对存在此类有理关系而言既是必要也是充分的。