[论文解读] The $L^p$ Dirichlet boundary problem for second order Elliptic Systems with rough coefficients

Martin Dindoš, Marius Mitrea+1 more|Edinburgh Research Explorer|Aug 3, 2017

Advanced Harmonic Analysis Research参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文在 Lipschitz 图上方的域中，针对具有粗糙系数的二阶强椭圆系统，建立了 $L^p$ Dirichlet 边界问题在 $p$ 接近 2 时的可解性。通过在系数上施加 Carleson 条件，引入了一种新颖的方法，利用平方函数和非切向极大函数估计，将可解性范围扩展至 $p \in (2 - \varepsilon, 2(n-1)/(n-2) + \varepsilon)$，并将其应用于各向同性非均匀材料的 Lamé 系统，其中泊松比 $\nu < 0.396$。主要贡献在于，通过替代的 $L^p$-估计，克服了在系统中缺乏最大值原理和 De Giorgi-Nash-Moser 理论的局限。

ABSTRACT

Given a domain above a Lipschitz graph, we establish solvability results for strongly elliptic second-order systems in divergence-form, allowed to have lower-order (drift) terms, with $L^p$-boundary data for $p$ near $2$ (more precisely, in an interval of the form $\big(2-\varepsilon,\frac{2(n-1)}{n-2}+\varepsilon\big)$ for some small $\varepsilon&gt;0$). The main novel aspect of our result is that the coefficients of the operator do not have to be constant, or have very high regularity, instead they will satisfy a natural Carleson condition that has appeared first in the scalar case. A significant example of a system to which our result may be applied is the Lamé system for isotropic inhomogeneous materials. We show that our result applies to isotropic materials with Poisson ratio $ν&lt;0.396$. Dealing with genuine systems gives rise to substantial new challenges, absent in the scalar case. Among other things, there is no maximum principle for general elliptic systems, and the De Giorgi - Nash - Moser theory may also not apply. We are, nonetheless, successful in establishing estimates for the square-function and the nontangential maximal operator for the solutions of the elliptic system described earlier, and use these as alternative tools for proving $L^p$ solvability results for $p$ near $2$.

研究动机与目标

• 解决一般椭圆系统中缺乏最大值原理和 De Giorgi-Nash-Moser 理论的问题，这使得标准的 $L^p$ 插值方法无法适用。
• 在 $p$ 接近 2 时，建立具有粗糙系数的二阶椭圆系统在 $p \in (2 - \varepsilon, 2(n-1)/(n-2) + \varepsilon)$ 范围内的 $L^p$ 可解性。
• 将此前仅用于标量情形的 Carleson 条件扩展至系统，以允许低正则性系数。
• 提供一种 $L^p$ 可解性的框架，无需依赖 $L^\infty$-端点估计，原因在于缺乏最大值原理。
• 将结果应用于各向同性非均匀材料的 Lamé 系统，确定在何种泊松比范围内可解性成立。

提出的方法

• 引入一种基于 $L^2$ 平均的弱化非切向极大函数，以应对系统中缺乏最大值原理的问题。
• 使用平方函数估计和非切向极大函数控制作为主要工具，替代点态估计。
• 在系数变化上应用 Carleson 条件，确保靠近边界处振荡的 $L^p$-范数较小。
• 通过自由参数 $r(x)$ 将系统重写为规范形式，使得 $A^{\alpha\beta}_{0j} = \delta^{\alpha\beta}\delta_{0j}$，从而实现结构分析。
• 利用从 $L^2$ 可解性到 $p$ 接近 2 的外推技术，避免求解正则性问题。
• 通过矩阵正定性分析和对分块结构系数矩阵的特征值估计，验证强椭圆性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Lipschitz 域中，对于具有粗糙系数的二阶椭圆系统，$L^p$ Dirichlet 问题在何种 $p$ 范围内可解？
• RQ2 当最大值原理和 De Giorgi-Nash-Moser 理论不适用于系统时，如何在 $p$ 接近 2 时建立 $L^p$ 可解性？
• RQ3 此前仅用于标量情形的 Carleson 条件能否扩展至系统，以允许低正则性系数？
• RQ4 Lamé 系统的何种结构条件可确保强椭圆性及 $p$ 接近 2 时的 $L^p$ 可解性？
• RQ5 辅助函数 $r(x)$ 的选择如何影响系统的椭圆性与可解性？

主要发现

• 在系数满足 Carleson 条件的前提下，强椭圆系统的 $L^p$ Dirichlet 问题在 $p \in (2 - \varepsilon, 2(n-1)/(n-2) + \varepsilon)$ 范围内可解。
• 在缺乏最大值原理的情况下，平方函数估计和非切向极大函数估计被确立为关键工具。
• 当 $\operatorname{ess\,inf}_x \{ (\sqrt{8} - 1)\mu(x) + \lambda(x), (\sqrt{8} + 1)\mu(x) - \lambda(x) \} > 0$ 时，Lamé 系统的强椭圆性得到验证。
• 该方法适用于泊松比 $\nu < 0.396$ 的各向同性非均匀材料，将已知结果推广至粗糙系数情形。
• 通过非切向极大函数的 $L^p$-估计，实现了从 $L^2$ 可解性到 $p$ 接近 2 的外推，而无需求解正则性问题。
• 在系数重正则化中，辅助函数 $r(x)$ 的最优选择可确保强椭圆性，并使 Carleson 条件得以满足。