[论文解读] The Learning Stabilizers with Noise Problem

Alexander Poremba, Yihui Quek+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2024

Advanced Control Systems Design被引用 1

一句话总结

本文提出了噪声学习稳定器（LSN）问题，这是经典学习奇偶校验噪声（LPN）问题的量子类比，定义为在局部去极化噪声下对随机稳定器码进行译码。该文在不同噪声范围内提出了多项式时间与指数时间的量子算法，证明LSN包含LPN作为特例，建立了最坏情况到平均情况的归约关系，并表明LSN属于一个新的酉合成复杂度类。主要贡献在于将LSN确立为一个困难且抗量子的假设，具有在量子密码学和从量子数据中学习中的应用价值。

ABSTRACT

Random classical codes have good error correcting properties, and yet they are notoriously hard to decode in practice. Despite many decades of extensive study, the fastest known algorithms still run in exponential time. The Learning Parity with Noise (LPN) problem, which can be seen as the task of decoding a random linear code in the presence of noise, has thus emerged as a prominent hardness assumption with numerous applications in both cryptography and learning theory. Is there a natural quantum analog of the LPN problem? In this work, we introduce the Learning Stabilizers with Noise (LSN) problem, the task of decoding a random stabilizer code in the presence of local depolarizing noise. We give both polynomial-time and exponential-time quantum algorithms for solving LSN in various depolarizing noise regimes, ranging from extremely low noise, to low constant noise rates, and even higher noise rates up to a threshold. Next, we provide concrete evidence that LSN is hard. First, we show that LSN includes LPN as a special case, which suggests that it is at least as hard as its classical counterpart. Second, we prove worst-case to average-case reductions for variants of LSN. We then ask: what is the computational complexity of solving LSN? Because the task features quantum inputs, its complexity cannot be characterized by traditional complexity classes. Instead, we show that the LSN problem lies in a recently introduced (distributional and oracle) unitary synthesis class. Finally, we identify several applications of our LSN assumption, ranging from the construction of quantum bit commitment schemes to the computational limitations of learning from quantum data.

研究动机与目标

• 为量子密码学和学习理论定义一个自然的LPN问题的量子类比。
• 在低至中等噪声范围内开发高效解决LSN的量子算法。
• 通过证明LSN包含LPN并建立最坏情况到平均情况的归约，确立LSN的计算困难性。
• 通过新引入的酉合成复杂度类，对LSN的复杂度进行刻画。
• 展示LSN假设在量子位承诺和从量子数据中学习中的实际应用。

提出的方法

• 将LSN问题定义为在局部去极化噪声下对随机稳定器码进行译码，通过量子电路和噪声通道形式化表述。
• 设计适用于不同噪声率的单次和多次测量量子译码算法，包括指数时间与多项式时间变体。
• 通过将经典LPN输入嵌入量子稳定器态，证明LPN是LSN的特例。
• 通过重新随机化秘密、码和错误分布，建立最坏情况到平均情况的归约，以保持困难性。
• 证明LSN属于最近定义的分布式和含预言机的酉合成复杂度类，提供其计算困难性的正式复杂度刻画。
• 基于LSN假设构造一个量子位承诺方案，证明其在LSN假设下具有统计隐藏性和计算绑定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个自然的LPN问题的量子类比，能够捕捉在噪声下对随机量子码译码的困难性？
• RQ2 能否设计出在从极低噪声到接近阈值的广泛噪声范围内均有效的LSN量子算法？
• RQ3 LSN问题是否继承了LPN的困难性，其变体能否建立最坏情况到平均情况的归约？
• RQ4 考虑到其量子输入和酉输出结构，LSN的计算复杂度是什么？
• RQ5 LSN假设能否用于构造安全的量子密码原原子，例如位承诺方案？

主要发现

• LSN问题被证明包含经典LPN问题作为特例，意味着其至少与LPN一样困难。
• 在极低噪声区域和低恒定噪声率下，开发了LSN的多项式时间量子算法。
• 构建了多轮译码算法，可在噪声阈值以下成功运行，其成功概率随噪声率呈指数衰减。
• 为LSN变体证明了最坏情况到平均情况的归约，确立了其在分布假设下的鲁棒困难性。
• LSN被正式归入一个新的酉合成复杂度类，为其计算困难性提供了复杂性理论上的刻画。
• 基于LSN假设，构造了一个具有统计隐藏性和计算绑定性的量子位承诺方案，其安全性依赖于多项式时间内求解LSN的困难性。