[论文解读] The Levels of Quasiperiodic Functions on the plane, Hamiltonian Systems and Topology

S. P. Novikov|ArXiv.org|Sep 28, 1999

Quasicrystal Structures and Properties被引用 3

一句话总结

本文研究了平面上具有四个独立频率的准周期函数的水平集的拓扑结构，建立了与常秩2泊松括号的(n+2)环面上哈密顿系统的联系。对于此类函数的一个开稠密族，本文证明了其拓扑完全可积性，并识别出新颖的整数值、局部稳定的拓扑不变量，将先前关于三周期函数的研究扩展至四周期情形，对准晶和固态物理具有重要意义。

ABSTRACT

Topology of levels of the quasiperiodic functions with m=n+2 periods on the plane is studied. For the case of functions with m=4 periods full description is obtained for the open everywhere dense family of functions. This problem is equivalent to the study of Hamiltonian systems on the (n+2)-torus with constant rank 2 Poisson bracket. In the cases under investigation we proved that this system is topologically completely integrable in some natural sence where interesting integer-valued locally stable topological characteristics appear. The case of 3 periods has been extensively studied last years by the present author, Zorich, Dynnikov and Maltsev for the needs of solid state physics (''Galvanomagnetic Phenomena in Normal Metals''); The case of 4 periods might be useful for Quasicrystals.

研究动机与目标

• 分析平面上具有四个独立频率的准周期函数的水平集的拓扑结构。
• 建立此类函数与具有常秩2泊松括号的(n+2)环面上哈密顿系统之间的对应关系。
• 识别并表征该系统中出现的整数值、局部稳定的拓扑不变量。
• 将先前关于三周期函数（此前与金属中的磁致电阻效应相关）的研究结果，扩展至四周期情形。
• 探讨四周期情形对准晶数学建模的相关性。

提出的方法

• 利用具有m = n+2个周期的准周期函数与具有常秩2泊松结构的(n+2)环面上哈密顿系统之间的等价性。
• 应用微分拓扑与动力系统工具，研究这些函数水平集的全局结构。
• 采用自然意义下的拓扑完全可积性概念，通过拓扑不变量的稳定性和不变性来定义。
• 分析具有四个周期的准周期函数的开稠密集，以实现完整的拓扑分类。
• 依赖可积系统与泊松几何的框架，表征水平集的拓扑类型。
• 借鉴先前关于三周期函数研究（如Novikov、Zorich、Dynnikov、Maltsev等人的工作）作为四周期情形扩展的基础。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有四个独立频率的平面上准周期函数的水平集具有怎样的拓扑结构？
• RQ2 具有常秩2泊松括号的(n+2)环面上哈密顿流系统与这类函数的水平集之间有何关系？
• RQ3 在四周期情形下，哪些整数值、局部稳定的拓扑不变量出现，且在小扰动下如何保持不变？
• RQ4 与先前研究的三周期情形相比，四周期情形在拓扑与动力行为上有哪些扩展或不同之处？
• RQ5 该拓扑分类对准晶或金属中磁致电阻效应等物理模型有何影响？

主要发现

• 对于平面上具有四个周期的准周期函数的一个开稠密集，其水平集的拓扑结构被完整描述。
• 相应的具有常秩2泊松括号的(n+2)环面上哈密顿系统在自然意义下是拓扑完全可积的。
• 在四周期情形下出现了非平凡的整数值拓扑不变量——在小扰动下具有局部稳定性。
• 结果推广了先前关于三周期函数的研究，后者曾因与正常金属中磁致电阻效应相关而受到关注。
• 四周期情形被确定为可能对准晶的数学描述具有重要意义。
• 本研究建立了水平集的拓扑类型与来自泊松结构导出的不变量之间的精确对应关系。